遞推方程

遞推方程（也稱為差分方程）是微分方程的離散 аналог。差分方程涉及整數函式 ，形式如下：

(1)

其中 是某個整數函式。上述方程是一階常微分方程的離散 аналог：

(2)

差分方程的例子經常出現在動力系統中。例子包括曼德勃羅集和朱利亞集定義中涉及的迭代：

(3)

其中 是一個常數，以及邏輯斯蒂方程：

(4)

其中 是一個常數。也許最著名的遞推關係例子是定義斐波那契數的那個：

(5)

對於 且 。

遞推方程可以使用以下方法求解：RSolve[eqn, a[n], n]。線性遞推方程的解可以直接計算，但二次遞推方程則不太容易理解。

由遞推關係生成的序列稱為遞推序列。

設

(6)

其中廣義冪和 對於 , 1, ... 由下式給出：

(7)

具有不同的非零根 ，係數 是 多項式，次數為 ，對於正整數 ，且 。那麼序列 ，其中 滿足遞推關係：

(8)

（Myerson 和 van der Poorten 1995）。

一般遞推序列中的項屬於在整數上的有限生成環，因此每個有理數都不可能出現在任何有限生成的遞推序列中。如果一個遞推序列無限次消失，那麼它會在算術級數上消失，其公差為 1，僅取決於根。遞推序列可以無限次取值的數量受到某個整數 的限制，該整數僅取決於根。不存在每個整數都無限次出現的遞推序列，也不存在每個高斯整數都出現的遞推序列（Myerson 和 van der Poorten 1995）。

設 是一個界限，使得階數為 的非退化整數遞推序列至少取值零 次。那麼 ，，且 （Myerson 和 van der Poorten 1995）。 的最大情況是：

(9)

其中

(10)

(11)

零點是

(12)

（Beukers 1991）。