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曼德勃羅集

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術語曼德勃羅集通常既指一類通用的分形集，也指這類集合的特定例項。一般來說，曼德勃羅集標記了複平面中的點集，使得相應的朱利亞集是連通的並且不是可計算的。

“該”曼德勃羅集是從二次遞推方程獲得的集合

z_(n+1)=z_n^2+C
(1)

其中 z_0=C，其中複平面中的點 C，對於這些點，z_n 的軌道不會趨於無窮大，則屬於該集合。將 z_0 等於集合中任何不是週期點的點都會得到相同的結果。曼德勃羅集最初被 Mandelbrot 稱為 mu 分子。J. Hubbard 和 A. Douady 證明了曼德勃羅集是連通的。

MandelbrotSet

上面顯示了曼德勃羅集的圖，其中複平面中 C 的值根據達到 r_(max)=2 所需的步數進行著色。曼德勃羅集的腎形部分最終被一個具有以下方程的心臟線包圍

4x=2cost-cos(2t)
(2)
4y=2sint-sin(2t).
(3)

相鄰部分是一個圓，中心位於 (-1,0)，半徑為 1/4。

SeaHorseValley

曼德勃羅集的中心區域在 -0.75+0.1i 附近，有時被稱為海馬谷，因為其中出現的螺旋形狀類似於海馬尾巴 (Giffin, Munafo)。

ElephantValley

類似地，曼德勃羅集的中心區域在 0.3+0i 附近，大小約為 0.1+0.1i，被稱為象谷。

Shishikura (1994) 證明了曼德勃羅集的邊界是分形，豪斯多夫維數為 2，駁斥了 Elenbogen 和 Kaeding (1989) 關於它不是分形的結論。然而，曼德勃羅集是否是路徑連通的尚不清楚。如果它是路徑連通的，那麼 Hubbard 和 Douady 的證明意味著曼德勃羅集是一個圓的影像，並且可以透過摺疊內部的某些弧線從圓盤構建而成 (Douady 1986)。

MandelbrotSetAreas

曼德勃羅集的面積可以精確地寫成

A=pi(1-sum_(n=1)^inftynb_n^2)
(4)

其中 b_n 是共形對映 psi 的無窮遠處的洛朗級數的係數，該對映將單位圓盤的外部對映到曼德勃羅集的外部，

psi(w)=w+sum_(n=0)^(infty)b_nw^(-n)
(5)
=w-1/2+1/8w^(-1)-1/4w^(-2)+(15)/(128)w^(-3)+0w^(-4)-(47)/(1024)w^(-5)+...
(6)

(OEIS A054670 和 A054671; Ewing 和 Schober 1992)。b_n 的遞迴由下式給出

b_n={-1/2 for n=0; -(w_(n,n+1))/n otherwise
(7)
w_(n,m)={0 for n=0; a_(m-1)+w_(n-1,m)+sum_(j=0)^(m-2)a_jw_(n-1,m-j-1) otherwise
(8)
a_j=u_(0,j+1)
(9)
u_(n,k)={1 for 2^n-1=k; sum_(j=0)^(k)u_(n-1,j)u_(n-1,k-j) for 2^n-1>k; 0 for 2^(n+1)-1>k; 1/2(u_(n+1,k)-sum_(j=1)^(k-1)u_(n,j)u_(n,k-j)) otherwise.
(10)

這些係數可以遞迴計算，但尚不清楚閉合形式。此外，該總和收斂非常緩慢，因此需要 10^(118) 項才能獲得前兩位數字，需要 10^(1181) 項才能獲得三位數字。Ewing 和 Schober (1992) 計算了 240000 個 b_n 值，發現 -1<nb_n<1 在此範圍內，並推測此不等式始終成立。此計算還提供了極限 A<=1.7274，並使作者相信真實值介於 1.66 和 1.71 之間。

透過畫素計數獲得的集合面積為 1.50659177+/-0.00000008 (OEIS A098403; Munafo; Lesmoir-Gordon et al. 2000, p. 97)，透過統計抽樣獲得的面積為 1.506484+/-0.000004，置信度為 95% (Mitchell 2001)，這兩者都明顯小於 Ewing 和 Schober (1992) 的估計值。

MandelbrotLemniscates

為了視覺化曼德勃羅集，可以將點被認為已逃逸的極限近似為 r_(max) 而不是無窮大。然後，可以透過根據非成員點發散到 r_(max) 的速度對其進行著色來建立精美的計算機生成圖。一個常見的選擇是將一個稱為計數的整數定義為最大的 n，使得 |z_n|<r_(max)，其中 r 可以方便地取為 r_(max)=2，併為不同計數的點著色不同的顏色。連續計數之間的邊界定義了一系列“曼德勃羅集雙紐線”（或“等勢線”；Peitgen 和 Saupe 1988），其定義是透過迭代二次遞迴，

L_n(C)=z_n=r_(max).
(11)

因此，前幾個雙紐線由下式給出

L_1(C)=C
(12)
L_2(C)=C(C+1)
(13)
=C^2+C
(14)
L_3(C)=C+(C+C^2)^2
(15)
=C^4+2C^3+C^2+C
(16)
L_4(C)=C+[C+(C+C^2)^2]^2
(17)
=C^8+4C^7+6C^6+6C^5+5C^4+2C^3+C^2+C
(18)

(OEIS A114448)。

當寫成 C=x+iy 並取每邊的絕對平方時，雙紐線可以在複平面中繪製，前幾個由下式給出

r^2=x^2+y^2
(19)
r^2=(x^2+y^2)[(x+1)^2+y^2]
(20)
r^2=(x^2+y^2)(1+2x+5x^2+6x^3+6x^4+4x^5+x^6-3y^2-2xy^2+8x^2y^2+8x^3y^2+3x^4y^2+2y^4+4xy^4+3x^2y^4+y^6).
(21)

這些是一個圓（黑色）、一個卵形線（紅色）和一個梨形曲線（黃色）。事實上，第二個曼德勃羅集雙紐線 L_2 可以用新的座標系表示，其中 x^'=x-1/2 為

[(x^'-1/2)^2+y^2][(x^'+1/2)^2+y^2]=r^2,
(22)

這只是一個 卡西尼卵形線，其中 a=1/2 和 b^2=r。曼德勃羅集雙紐線隨著計數的增加而變得越來越複雜，如上圖所示，並且隨著計數趨於無窮大而接近曼德勃羅集。

MandelbrotSin

術語曼德勃羅集也可以應用於“該”曼德勃羅集的推廣，其中函式 f(z)=z^2+C 被其他函式替換。在上面的圖中，f(z)=sin(z/c), z_0=c, 並且 c 允許在複平面中變化。請注意，對於不位於分形吸引子中的 z_0 的選擇，可以獲得完全不同的集合（不是曼德勃羅集）。因此，例如，在上面的集合中，選擇 z_0 在單位圓盤內但在紅色盆地之外，會得到一組外觀完全不同的影像。

MandelbrotSetPowers

曼德勃羅集的推廣可以透過用 z_n^k 或 (z^__n)^k 替換 z_n^2 來構造，其中 k 是一個正整數，z^_ 表示 z 的複共軛。上面的圖顯示了對於 k=2、3 和 4 獲得的分形 (Dickau)。底部的圖用 z^_ 替換了 z，有時被稱為“曼德勃條集”。

另請參閱

仙人掌分形, 象谷, 分形, 朱利亞集, 曼德勃條集, 曼德勃羅集雙紐線, 二次對映, Randelbrot 集, 海馬谷 在 教室中探索此主題

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參考文獻

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在 上引用

曼德勃羅集

引用為

Weisstein, Eric W. "曼德勃羅集。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MandelbrotSet.html

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