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心臟線

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Cardioid
CardioidFrames

該曲線由極座標方程給出

r=a(1-costheta),
(1)

有時也寫作

r=2b(1-costheta),
(2)

其中 b=a/2。

心臟線具有笛卡爾座標方程

(x^2+y^2+ax)^2=a^2(x^2+y^2),
(3)

和引數方程

x=acost(1-cost)
(4)
y=asint(1-cost).
(5)

心臟線是蚶線的退化情況。它也是一個1-尖點外擺線（其中 r=r），並且是由一個圓週上的點發出的光線經圓反射形成的反射包絡線。

心臟線在原點有一個尖點。

“心臟線”這個名稱最早由 de Castillon 在 1741 年的《英國皇家學會哲學彙刊》中使用。它的弧長由 la Hire 在 1708 年發現。對於任何給定的梯度，心臟線都恰好有三條平行切線。此外，透過尖點的任何弦的端點處的切線都成直角。透過尖點的任何弦的長度為 2a。

CardioidEnvelope
Cardioid envelope

心臟線也可以透過以下方式生成。繪製一個圓 C 並固定其上的一個點 A。現在繪製一組以 C 的圓周為中心，並穿過 A 的圓。圓的這些包絡線然後就是一條心臟線 (Pedoe 1995)。設圓 C 以原點為中心，半徑為 1，並設固定點為 A=(1,0)。那麼，以與 (1, 0) 成角度 theta 的點為中心的圓的半徑為

r^2=(0-costheta)^2+(1-sintheta)^2
(6)
=cos^2theta+1-2sintheta+sin^2theta
(7)
=2(1-sintheta).
(8)

如果固定點 A 不在圓上，則生成的包絡線是蚶線而不是心臟線。

弧長、曲率和切線角為

s=8asin^2(1/4t)
(9)
kappa=(3csc(1/2t))/(4a)
(10)
phi=3/2t.
(11)

曲線的周長和面積為

L=8a
(12)
A=3/2pia^2.
(13)

另請參閱

心臟線座標, 圓, 蔓葉線, 硬幣悖論, 蚌線, 心形曲線, 雙紐線, 蚶線, 對數螺線, 曼德勃羅集, 腎臟線

使用 探索

參考文獻

Archibald, R. C. "The Cardioide and Some of Its Related Curves." Inaugural dissertation der Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Facultät der Kaiser-Wilhelms-Universität, Strassburg zur Erlangung der Doctorwürde. Strassburg, France: J. Singer, 1900.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Gray, A. "Cardioids." §3.3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 54-55, 1997.Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 123, 2002.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 118-121, 1972.Lockwood, E. H. "The Cardioid." Ch. 4 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 34-43, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cardioid." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cardioid.html.Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. xxvi-xxvii, 1995.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 326, 1958.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 24-25, 1991.Yates, R. C. "The Cardioid." Math. Teacher 52, 10-14, 1959.Yates, R. C. "Cardioid." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 4-7, 1952.

請引用為

Weisstein, Eric W. "心臟線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Cardioid.html

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