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蚶線

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Limacon

蚶線是一種 極座標曲線 的形式

r=b+acostheta
(1)

也稱為帕斯卡蚶線。它最早由丟勒研究，他在Underweysung der Messung (1525)中給出了一種繪製它的方法。它由布萊茲·帕斯卡的父親艾蒂安·帕斯卡重新發現，並於 1650 年由吉爾-佩爾索納·羅伯瓦爾命名 (MacTutor Archive)。“limaçon”一詞源於拉丁語 limax，意思是“蝸牛”。

如果 b>=2a，則蚶線是凸的。如果 2a>b>a，則蚶線是凹陷的。如果 b=a，則蚶線退化為心臟線。如果 b<a，則蚶線有一個內環。如果 b=a/2，則它是三等分角線（但不是 麥克勞林三等分角線）。

LimaconLoop

對於 b<a，內環的面積為

A_(inner loop)=1/2int_(pi-theta_0)^(pi+theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(2)
=int_(pi-theta_0)^pi(b+acostheta)^2dtheta
(3)
=(1/2a^2+b^2)cos^(-1)(b/a)-3/2bsqrt(a^2-b^2),
(4)

其中 theta_0=cos^(-1)(b/a)。同樣，外包絡線包圍的面積為

A_(outer envelope)=1/2int_(-(pi-theta_0))^(pi-theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(5)
=int_0^(pi-theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(6)
=3/2bsqrt(a^2-b^2)+pi(1/2a^2+b^2)-(1/2a^2+b^2)cos^(-1)(b/a).
(7)

因此，環之間的面積為

A_(between loops)=3bsqrt(a^2-b^2)+(a^2+2b^2)sin^(-1)(b/a).
(8)

在 b=a/2 的特殊情況下，這些簡化為

A_(inner loop)=1/8a^2(2pi-3sqrt(3))
(9)
A_(between loops)=1/4a^2(pi+3sqrt(3))
(10)
A_(outer envelope)=1/8a^2(4pi+3sqrt(3)).
(11)

採用引數化

x=(b+acost)cost
(12)
y=(b+acost)sint
(13)

給出弧長 s(t) 作為 t 的函式，表示為

s(t)=2(a+b)E(t/2,(2sqrt(ab))/(a+b)),
(14)

其中 E(z,k) 是第二類橢圓積分。令 t=2pi，得到整條曲線的弧長為

s=4(a+b)E((2sqrt(ab))/(a+b)),
(15)

其中 E(k) 是第二類完全橢圓積分。

LimaconEnvelope

蚶線可以透過指定一個固定點 P 來生成，然後在給定圓上繪製一系列圓心都在給定圓上且都經過 P 的圓。這些曲線的包絡線是蚶線。如果固定點在圓的圓周上，則包絡線是心臟線。

蚶線是anallagmatic 曲線。蚶線是以圓圓上一點為頂點的蚌線 (Wells 1991)。

另請參閱

豆形曲線, 心臟線, 圓, 蚶線漸屈線, 蚶線三等分角線

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參考文獻

Beyer, W. H. CRC 數學標準表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 220-221, 1987.Baudoin, P. 笛卡爾卵形線和帕斯卡蚶線。 Paris: Vuibert, 1938.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 New York: Dover, pp. 113-117, 1972.Lockwood, E. H. "蚶線。" Ch. 5 in 曲線之書。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 44-51, 1967.Loomis, E. S. "蚶線。" §2.4 in 勾股定理：其證明分析與分類以及四種“證明”資料來源書目，第二版。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 23-25, 1968.Loy, J. "角度三等分。" http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves.MacTutor History of Mathematics Archive. "帕斯卡蚶線。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Limacon.html.Smith, D. E. 數學史，第 2 卷：初等數學專題。 New York: Dover, p. 329, 1958.Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 154-155, 1999.Wells, D. 企鵝好奇與趣味幾何詞典。 London: Penguin, pp. 140-141, 1991.Yates, R. C. "帕斯卡蚶線。" 曲線及其性質手冊。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 148-151, 1952.Yates, R. C. 三等分角難題。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1971.

引用為

Weisstein, Eric W. “蚶線。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Limacon.html

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