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豆形曲線

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有幾種被稱為“豆形曲線”的平面曲線。

BeanCurve

Cundy 和 Rowllet (1989, p. 72) 提出的豆形曲線是由隱式方程給出的四次曲線

x^4+x^2y^2+y^4=ax(x^2+y^2).
(1)

它在 (2/3a,+/-2/3a) 處有水平切線，在 (0,0) 和 (a,0) 處有垂直切線。曲線圍成的面積由下式給出

A=sqrt(2)a^2int_0^1sqrt(x(1-x+sqrt(1+(2-3x)x)))dx
(2)
=(7pia^2)/(12sqrt(3))
(3)
=1.058049...a^2
(4)

(OEIS A193505)。內部的幾何質心 (x^_,y^_) 由下式給出

x^_=(23)/(42)a
(5)
y^_=0
(6)

內部的面積慣性矩張量由下式給出

I_(xx)=(113pi)/(1728sqrt(3))a^4
(7)
I_(xy)=0
(8)
I_(yy)=(23pi)/(108sqrt(3))a^4
(9)

(E. Weisstein，2 月 3-5 日，2018 年)。周長由下式給出

s=2aint_0^1sqrt(1+((1-2x+(1+3x-6x^2)/(sqrt(1+2x-3x^2)))^2)/(8x(1-x+sqrt(1+2x-3x^2))))dx
(10)
=3.75021364...a
(11)

(OEIS A193506)。

LimaBeanCurve

第二種豆形曲線更像實際的豆子（特別是利馬豆），這裡稱為“利馬豆曲線”，由簡單的極座標方程給出

r=a(sin^3theta+cos^3theta)
(12)

(Wassenaar；上圖左側)。它也是一條四次曲線，並具有笛卡爾方程

(x^2+y^2)^2=a(x^3+y^3).
(13)

如果利馬豆旋轉使其完全出現在 y>0 半平面中，並關於 x-軸對稱定向（上圖右側），則其笛卡爾方程變為

sqrt(2)(x^2+y^2)^2=ay(3x^2+y^2).
(14)

原始極座標曲線的引數方程為

x=acost(sin^3t+cos^3t)
(15)
y=asint(sin^3t+cos^3t).
(16)

這條曲線的最大值為 x_(max)=y_(max)=1，最小值為 x_(min)=y_(min)=r，其中 r=-0.28288... 是 27-27x-288x^2+512x^3=0 的實根。曲線圍成的面積為

A=5/(16)pia^2
(17)
=0.98174770...a^2
(18)

(參見 OEIS A244978)。內部的幾何質心 (x^_,y^_) 由下式給出

x^_=3/(10)a
(19)
y^_=3/(10)a,
(20)

周長由下式給出

s=aint_0^pisqrt(1+3/2sin^2(2theta)-2sin^3(2theta))dtheta
(21)
=1/2aint_0^(2pi)sqrt(1+3/2sin^2x-2sin^3x)dx
(22)
=aint_(-1)^1sqrt((2+3y^2-4y^3)/(2(1-y^2)))dy
(23)
=3.93170280...a
(24)

(OEIS A336501)。內部的面積慣性矩張量由下式給出

I=[(123pi)/(2048)a^4 -(9pi)/(1024)a^4; -(9pi)/(1024)a^4 (123pi)/(2048)a^4].
(25)

另請參閱

雙尖瓣線, 蝸線

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參考文獻

Cundy, H. and Rollett, A. 數學模型，第 3 版 Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 72, 1989.Sloane, N. J. A. 序列 A193505, A193506, A244978, 和 A336501，出自“整數數列線上大全”。Wassenaar, J. "數學曲線：豆形曲線 (1)。" http://www.2dcurves.com/quartic/quarticbn.htmlWassenaar, J. "數學曲線：豆形曲線 (2)。" http://www.2dcurves.com/quartic/quarticbn2.html

請引用本文為

韋斯坦因，埃裡克·W. “豆形曲線”。來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/BeanCurve.html

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