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四次曲線

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一般的平面四次曲線是如下形式的曲線

Ax^4+By^4+Cx^3y+Dx^2y^2+Exy^3+Fx^3+Gy^3+Hx^2y+Ixy^2+Jx^2+Ky^2+Lxy+Mx+Ny+O=0.
(1)

例子包括 & 曲線, 豆形曲線, 雙角線, 雙尖點曲線, 雙葉線, 雙紐線, 雙切線豐富的曲線, 弓形線, 子彈頭線, 蝴蝶曲線, 摩羯座曲線, 心臟線, 笛卡爾卵形線, 卡西尼卵形線, 尼科梅德斯蚌線, 十字曲線, 星形線, 魔鬼曲線, 丟勒蚌線, 8字曲線, 魚形曲線, 馬蹄螺線, 歐多克索斯彎曲線, 開普勒葉形線, 克萊因四次曲線, 紐結曲線, 雙紐線, 蝸牛線, 鏈環曲線, 梨形曲線, 梨形曲線, 卍字曲線, 三葉結曲線, 和 三葉草線。

一般四次曲線的 28 條雙切線的關聯關係可以與七維空間中特定多胞形的頂點建立一一對應關係 (Coxeter 1928, Du Val 1933)。這一事實本質上類似於 Schoute (1910) 的發現，即三次曲面上的 27 條 所羅門封印線可以與六維空間中的多胞形相關聯 (Du Val 1933)。屬 4 的典型曲線的切觸平面與八維多胞形之間存在類似但不太完整的關係 (Du Val 1933)。

非退化四次曲線的最大二重點數為三。

如下形式的四次曲線

y^2=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)(x-delta)
(2)

可以寫成

[y/((x-alpha)^2)]^2 =(1-(beta-alpha)/(x-alpha))(1-(gamma-alpha)/(x-alpha))(1-(delta-alpha)/(x-alpha)),
(3)

因此在座標中是三次的

X=1/(x-alpha)
(4)
Y=y/((x-alpha)^2)
(5)

(Cassels 1991)。這種變換是雙有理變換。

Quartic

設 P 和 Q 為拐點，R 和 S 為直線 PQ 與上面圖 (a) 中曲線的交點。則

A=C
(6)
B=2A.
(7)

在圖 (b) 中，設 UV 為雙切線，T 為曲線上 x 座標是 x 座標 U 和 V 平均值的點。則 UV∥PQ∥RS 並且

D=F
(8)
E=sqrt(2)D.
(9)

在圖 (c) 中，P 處的切線與曲線在 W 處相交。則

G=8B.
(10)

最後，在圖 (d) 中，P 和 Q 處的切線的交點為 W 和 X。則

H=27B
(11)

(Honsberger 1991)。

另請參閱

代數曲線, 三次曲線, 三次曲面, 梨形曲線, 二次曲線, 所羅門封印線

使用 探索

參考文獻

Cassels, J. W. S. 第 8 章，橢圓曲線講義。 紐約：劍橋大學出版社，1991 年。Coxeter, H. S. M. "六維和七維空間中的純阿基米德多胞形。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 7-9, 1928.Du Val, P. "關於平面中一組點的準線。" Proc. London Math. Soc. Ser. 2 35, 23-74, 1933.Honsberger, R. 更多數學拾零。 華盛頓特區：美國數學協會，第 114-118 頁，1991 年。Salmon, G. 高等平面曲線論著，作為圓錐曲線論著的續篇，第 3 版。 都柏林：霍奇斯，1879 年。Schoute, P. H. "關於確定六維多胞形的頂點與三次曲面的線之間的關係。" Proc. Roy. Akad. Acad. Amsterdam 13, 375-383, 1910.Wells, D. 企鵝好奇與有趣的幾何學詞典。 倫敦：企鵝出版社，第 49 頁，1991 年。

在 中被引用

四次曲線

請引用為

Weisstein, Eric W. "四次曲線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/QuarticCurve.html

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