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三次曲面

一個 代數曲面，階數為 3。Schläfli 和 Cayley 對奇異三次曲面進行了分類。在一般三次曲面上，存在一種稱為 double sixes 的奇特幾何結構，以及由 Schläfli（Salmon 1965，Fischer 1986）發現的 27 條（可能是複數）線的特定排列，有時稱為 Solomon's seal lines。非正則三次曲面可以包含 3、7、15 或 27 條實線 (Segre 1942, Le Lionnais 1983)。Clebsch 對角三次曲面包含所有可能的 27 條線。三次曲面上普通二重點的最大數量為四個，而具有四個普通二重點的唯一三次曲面是 Cayley 三次曲面。

三次曲面的例子包括 Cayley 三次曲面、Clebsch 對角三次曲面、ding-dong surface、handkerchief surface、Möbius strip、monkey saddle、shoe surface、Wallis's conical edge 和 Whitney umbrella。

Schoute (1910) 表明，可以將 27 條線與六維空間中特定 polytope 的頂點建立一一對應關係，使得線之間的所有關聯關係都反映在 polytope 的連通性中，反之亦然 (Du Val 1933)。在一般平面 quartic curve 的 28 條雙切線與七維 polytope (Coxeter 1928) 之間，以及虧格為 4 的規範曲線的 tritangent 平面與八維 polytope (Du Val 1933) 之間，也可以建立類似的對應關係。

光滑三次曲面包含 45 條 tritangents (Hunt)。光滑三次曲面的 Hessian 至少包含 10 個普通二重點，儘管 Cayley 三次曲面的 Hessian 包含 14 個 (Hunt)。

另請參閱

Cayley 三次曲面, Clebsch 對角三次曲面, Ding-Dong Surface, Double Sixes, Eckardt Point, Isolated Singularity, Solomon's Seal Lines, Tritangent

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參考文獻

Bruce, J. and Wall, C. T. C. "On the Classification of Cubic Surfaces." J. London Math. Soc. 19, 245-256, 1979.Cayley, A. "A Memoir on Cubic Surfaces." Phil. Trans. Roy. Soc. 159, 231-326, 1869.Coxeter, H. S. M. "The Pure Archimedean Polytopes in Six and Seven Dimensions." Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 7-9, 1928.Du Val, P. "On the Directrices of a Set of Points in a Plane." Proc. London Math. Soc. Ser. 2 35, 23-74, 1933.Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 9-14, 1986.Fladt, K. and Baur, A. Analytische Geometrie spezieler Flächen und Raumkurven. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 248-255, 1975.Hunt, B. "Algebraic Surfaces." http://www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html.Hunt, B. "The 27 Lines on a Cubic Surface" and "Cubic Surfaces." Ch. 4 and Appendix B.4 in The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. New York: Springer-Verlag, pp. 108-167 and 302-310, 1996.Klein, F. "Über Flächen dritter Ordnung." Gesammelte Abhandlungen, Band II. Berlin: Springer-Verlag, pp. 11-62, 1973.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 49, 1983.Rodenberg, C. "Zur Classification der Flächen dritter Ordnung." Math. Ann. 14, 46-110, 1878.Salmon, G. Analytic Geometry of Three Dimensions. New York: Chelsea, 1965.Schläfli, L. "On the Distribution of Surfaces of Third Order into Species, in Reference to the Absence or Presence of Singular Points, and the Reality of Their Lines." Philos. Trans. Roy. Soc. London 153, 193-241, 1863.Schoute, P. H. "On the Relation Between the Vertices of a Definite Sixdimensional Polytope and the Lines of a Cubic Surface." Proc. Roy. Acad. Amsterdam 13, 375-383, 1910.Segre, B. The Nonsingular Cubic Surface. Oxford, England: Clarendon Press, 1942.

在 中被引用

三次曲面

請引用為

Weisstein, Eric W. "三次曲面。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CubicSurface.html

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