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惠特尼傘

WhitneysUmbrella

一種可以解釋為三維空間中自相交矩形的曲面。惠特尼傘是從R^2到R^3的對映的唯一穩定奇點。它由引數方程給出

x=uv
(1)
y=u
(2)
z=v^2
(3)

對於u,v in [-1,1]。作為自相交線末端的“加號”形狀的中心是一個尖點。第一基本形式的係數是

E=1+v^2
(4)
F=uv
(5)
G=u^2+4v^2,
(6)

並且第二基本形式是

e=0
(7)
f=(2v)/(sqrt(u^2+4v^2+4v^4))
(8)
g=-(2u)/(sqrt(u^2+4v^2+4v^4)),
(9)

給出面積元素

dA=sqrt(u^2+4v^2(1+v^2)),
(10)

以及高斯曲率和平均曲率

K=-(4v^2)/((u^2+4v^2+4v^4)^2)
(11)
H=-(u(1+3v^2))/((u^2+4v^2+4v^4)^(3/2)).
(12)

請注意，由方程給出的直紋三次曲面

x^2-y^2z=0
(13)

是惠特尼傘和射線x=y=0，z<0的並集，稱為惠特尼傘的柄。

此條目的部分內容由Margherita Barile貢獻

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參考文獻

Apéry, F. 實射影平面的模型。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 62-63, 1987.Francis, G. K. 拓撲圖冊。 New York: Springer-Verlag, pp. 8-9, 1987.更新連結Geometry Center. "惠特尼的傘。" http://www.geom.umn.edu/zoo/features/whitney/Gray, A. "惠特尼傘。" 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 311 and 401-402, 1997.

引用為

Barile, Margherita 和 Weisstein, Eric W. "惠特尼傘。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/WhitneyUmbrella.html

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