高斯曲率

高斯曲率，有時也稱為總曲率 (Kreyszig 1991, p. 131)，是空間的一種內在屬性，與描述它所用的座標系無關。在 中，正則曲面上一點 的高斯曲率正式定義為

(1)

其中 是形狀運算元，det 表示行列式。

如果 是一個正則引數片，則高斯曲率由下式給出

(2)

其中 、 和 是第一基本形式的係數，、 和 是第二基本形式的係數 (Gray 1997, p. 377)。高斯曲率可以完全用第一基本形式表示

(3)

以及度量判別式

(4)

透過

(5)

其中 是第一類克里斯托費爾符號。等價地，

(6)

其中

			(7)
			(8)

展開後，

(9)

高斯曲率也由下式給出

(10)

(Gray 1997, p. 380)，以及

(11)

其中 是置換符號， 是單位法向量， 是單位切向量。高斯曲率也由下式給出

			(12)
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			(14)

其中 是標量曲率， 和 是主曲率， 和 是主曲率半徑。對於 Monge 引數片 ，

(15)

由 隱式定義的曲面的高斯曲率由下式給出

(16)

(Trott 2004, pp. 1285-1286)。

高斯曲率 和平均曲率 滿足

(17)

僅在臍點處等號成立，因為

(18)

如果 是 中正則曲面 上的點， 和 是 在 點的切向量，那麼 在 點的高斯曲率與形狀運算元 的關係為

(19)

設 是 上的非零向量場，它處處垂直於 ，設 和 是 的切向量場，使得 ，則

(20)

(Gray 1997, p. 410)。

對於球面，高斯曲率為 。對於歐幾里得空間，高斯曲率為 。對於高斯-波利亞伊-羅巴切夫斯基空間，高斯曲率為 。可展曲面是一種正則曲面和特殊的極小曲面，其高斯曲率處處為零。

正則曲面 中的點 根據 的符號進行分類，如下表所示 (Gray 1997, p. 375)，其中 是形狀運算元。

符號	點型別
	橢圓點
	雙曲點
但	拋物點
且	平面點

高斯曲率 處處為正的曲面稱為向彎曲面，而 處處為負的曲面稱為背彎曲面。具有恆定高斯曲率的曲面包括錐面、柱面、Kuen 曲面、平面、偽球面和球面。其中，錐面和柱面是僅有的可展旋轉曲面。