度量張量

粗略地說，度量張量 是一個 函式，它告訴我們如何計算給定 空間 中任意兩點之間的距離。 它的分量可以看作是乘法因子，必須放在微分位移 前面，在廣義的 勾股定理 中

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在 歐幾里得空間 中， 其中 是 克羅內克 delta（當 時為 0，當 時為 1），再現了 勾股定理 的常用形式

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透過這種方式，度量張量可以被認為是工具，透過引入一種廣義的 座標系（Borisenko 和 Tarapov 1979），空間的幾何特徵可以被“算術化”。

在上述簡化中，所討論的空間最常見的是 光滑流形 ，由此度量張量本質上是一個幾何物件 ，它接受兩個 向量 輸入，並計算單個向量 的平方 長度 ，或者兩個不同向量 的 標量 積 （Misner et al. 1978）。 在這個類比中，所討論的輸入最常見的是位於 切空間 中的 切向量，對於某個點 ，這一事實促進了度量張量更常見的定義，即作為 可微 內積 對可微流形 的所有切空間的集合的賦值（O'Neill 1967）。 因此，一些文獻將可微流形 上的度量張量定義為僅僅是一個 對稱 非退化雙線性形式（Dodson 和 Poston 1991）。

可以使用張量場及其上的指標語言來陳述等效的定義。 沿著這些思路，一些文獻將度量張量定義為光滑流形 上的對稱 張量場 ，使得對於所有 ， 是非退化的，且 對於某個非負整數 （Sachs 和 Wu 1977）。 這裡， 稱為 的 指標，表示式 指的是相應二次型的 指標。 這種定義似乎不如上面陳述的那些定義常見。

度量張量在文獻中有許多同義詞。 特別是，度量張量有時被稱為基本張量（Fleisch 2012）或幾何結構（O'Neill 1967）。 賦予度量張量的流形有時被稱為幾何流形（O'Neill 1967），而由實向量空間 和度量張量 組成的對 稱為度量向量空間（Dodson 和 Poston 1991）。 在符號上，度量張量最常表示為 或 ，儘管符號 （O'Neill 1967）、（Fleisch 2012）和 （Dodson 和 Poston 1991）有時也被使用。

當定義為可微 內積，作用於可微 流形 的每個 切空間 時，與度量張量相關的 內積 最常被假定為對稱的、非退化的和 雙線性的，即，它最常被假定為接受兩個 向量 作為引數，併產生一個 實數 ，使得

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但是請注意，內積不必是 正定的，即條件

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當且僅當 時等號成立，不一定總是滿足。 當度量張量是 正定的 時，它被稱為 黎曼度量，或更準確地說，弱黎曼度量； 否則，它被稱為非黎曼、（弱）偽黎曼 或 半黎曼，儘管後兩個術語在不同的上下文中有時使用不同。 黎曼度量最簡單的例子是上面討論的 歐幾里得度量 ； 非黎曼度量最簡單的例子是狹義相對論的 閔可夫斯基度量，它是 符號差 的更一般度量的四維版本，它在 維 洛倫茲空間 上誘導了標準的 洛倫茲內積。 在一些文獻中，非退化條件被改變以包括弱非退化或強非退化（Marsden et al. 2002）； 人們也可以考慮其相關二次型未能對稱的度量張量，儘管這種情況遠不常見。

在座標 記號 中（相對於選擇的基），度量張量 及其逆 滿足許多基本恆等式，例如，

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和

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其中 是度量係數矩陣。 恆等式 (0) 的一個例子來自狹義相對論，其中 是 閔可夫斯基度量 的度量係數矩陣，符號差為 ，即

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一般來說，恆等式 (3)、(2) 和 (1) 可以簡潔地寫成

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其中

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更重要的是，

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給出

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因此，產生了度量張量及其逆之間的定量關係。

如果度量是 正定的，則 度量判別式 是 正的。 對於二維空間中的度量，這個事實可以用不等式定量地表示

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逆變 度量和 協變 度量的 正交性 由以下規定

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對於 ，給出 個線性方程，關聯 個量 和 。 因此，如果已知 個度量，則可以確定其他度量，這一事實總結為度量張量的存在給出了從逆變張量變為協變張量以及反之亦然的幾何方法（Dodson 和 Poston 1991）。

在二維空間中，

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因此，如果 是對稱的，

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在任何對稱 空間 中（例如，在 歐幾里得空間 中），

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因此

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兩條引數曲線之間的 角度 由下式給出

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所以

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和

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在任意（有限）維度中，線元 可以寫成

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其中使用了 愛因斯坦求和約定。 在三維中，這產生

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因此，可以得出結論，三維空間中的度量張量 可以寫成

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此外，由於對於 ，當相對於 正交 座標系工作時，，因此三維空間的 線元 變為

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其中 稱為 比例因子。 這些概念中的許多可以推廣到更高的維度和更一般的背景中。