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曲線座標

由相交曲面構成的座標系。如果所有交點都成直角，則稱曲線座標構成正交座標系。否則，它們構成斜角座標系。

一個通用的度規 g_(munu) 具有線元素

ds^2=g_(munu)du^mudu^nu,
(1)

其中使用了愛因斯坦求和約定。正交座標被定義為具有對角度規的座標，因此有

g_(munu)=delta_nu^muh_mu^2,
(2)

其中 delta_nu^mu 是克羅內克 delta，而 h_mu 是所謂的尺度因子。因此，正交曲線座標具有簡單的線元素

ds^2=delta_nu^muh_mu^2du^mudu^nu
(3)
=h_mu^2(du^mu)^2,
(4)

這正是勾股定理，因此微分向量為

dr=h_mudu_muu_mu^^,
(5)

或

dr=(partialr)/(partialu_1)du_1+(partialr)/(partialu_2)du_2+(partialr)/(partialu_3)du_3,
(6)

其中尺度因子為

h_i=|(partialr)/(partialu_i)|
(7)

和

u_i^^=((partialr)/(partialu_i))/(|(partialr)/(partialu_i)|)
(8)
=1/(h_i)(partialr)/(partialu_i).
(9)

因此，方程 (◇) 可以重新表示為

dr=h_1du_1u_1^^+h_2du_2u_2^^+h_3du_3u_3^^.
(10)

另請參閱

曲線， 散度， 梯度， 度規， 線元素， 正交座標系， 尺度因子， 斜角座標系

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參考文獻

Byerly, W. E. "Orthogonal Curvilinear Coördinates." §130 in An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, pp. 238-239, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Foundations of Electrodynamics. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1960.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 1-3, 1988.

在 中被引用

曲線座標

請引用為

Weisstein, Eric W. "Curvilinear Coordinates." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/CurvilinearCoordinates.html

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