愛因斯坦求和

愛因斯坦求和是一種 符號約定，用於簡化包括 求和 的表示式，這些求和涉及 向量、矩陣 和一般 張量。愛因斯坦求和符號基本上有三個規則，即

1. 重複指標被隱式地求和。

2. 每個指標在任何一項中最多出現兩次。

3. 每項必須包含相同的非重複指標。

以上列表中的第一項可以用來極大地簡化和縮短涉及 張量 的方程。例如，使用愛因斯坦求和，

(1)

並且

(2)

列表中的第二項和第三項表明表示式

(3)

是有效的，而表示式

(4)

並且

(5)

是無效的，因為索引 在 () 的第一項中出現三次，而 () 的第一項中的非重複指標 與第二項的非重複指標 不匹配。

這個約定由愛因斯坦 (1916, sec. 5) 引入，他後來向一位朋友開玩笑說：“我在數學上取得了一項偉大的發現；我每次都省略了求和符號，只要必須對出現兩次的指標進行求和……” (Kollros 1956; Pais 1982, p. 216)。

在實踐中，該約定傾向於與 克羅內克 delta 和 置換符號 一起出現。此外，愛因斯坦求和約定可以輕鬆地容納 逆變 和 協變張量 的上標和下標。