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排列符號


排列符號(Evett 1966;Goldstein 1980,第172頁;Aris 1989,第16頁)是一個三指標物件,有時被稱為列維-奇維塔符號(Levi-Civita symbol)(Weinberg 1972,第38頁;Misner 等人 1973,第87頁;Arfken 1985,第132頁;Chandrasekhar 1998,第68頁),列維-奇維塔密度(Levi-Civita density)(Goldstein 1980,第172頁),交替張量(alternating tensor)(Goldstein 1980,第172頁;Landau 和 Lifshitz 1986,第110頁;Chou 和 Pagano 1992,第182頁),或符號。它由下式定義:

 epsilon_(ijk)={0   for i=j,j=k, or k=i; +1   for (i,j,k) in {(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}; -1   for (i,j,k) in {(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)}.
(1)

排列符號在 Wolfram 語言 中實現為Signature[list]。

該符號有幾種常用表示法,第一種使用常見的希臘字母 epsilon epsilon_(ijk)(Goldstein 1980,第172頁;Griffiths 1987,第139頁;Jeffreys 和 Jeffreys 1988,第69頁;Aris 1989,第16頁;Chou 和 Pagano 1992,第182頁),第二種使用花體變體 epsilon_(ijk)(Weinberg 1972,第38頁;Misner 等人 1973,第87頁;Lightman 等人 1979,第19-21頁和183-188頁;Arfken 1985,第132頁;Chandrasekhar 1998,第68頁),第三種使用拉丁小寫字母 e_(ijk)(Landau 和 Lifshitz 1986,第110頁;Green 和 Zerna 1992,第11頁)。

該符號也可以解釋為張量,在這種情況下,它被稱為排列張量

排列符號滿足

delta_(ij)epsilon_(ijk)=0
(2)
epsilon_(ipq)epsilon_(jpq)=2delta_(ij)
(3)
epsilon_(ijk)epsilon_(ijk)=6
(4)
epsilon_(ijk)epsilon_(pqk)=delta_(ip)delta_(jq)-delta_(iq)delta_(jp),
(5)

其中 delta_(ij)克羅內克 delta(Kronecker delta)(Arfken 1985,第136頁)。

該符號也可以定義為右手座標系中單位向量的標量三重積

 epsilon_(ijk)=x_i^^·(x_j^^xx_k^^).
(6)

該符號可以推廣到任意數量的元素,在這種情況下,排列符號為 (-1)^(i(p)),其中 i(p) 是構建排列 p 必須組成的元素對的換位數(即,排列倒置)(Skiena 1990)。這種型別的符號出現在 nxn 矩陣的行列式計算中。在 n 個符號上具有符號 -1 的排列數為 n!/2,這也是具有符號 +1 的排列數。


另請參見

偶排列奇排列排列排列輪換排列倒置排列張量換位

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Signature/

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參考文獻

Arfken, G. 物理學家數學方法,第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, 第132-133頁和136頁,1985年。Aris, R. 向量、張量和流體 mechanics 的基本方程 New York: Dover, 1989年。Chandrasekhar, S. 黑洞的數學理論 Oxford, England: Clarendon Press, 1998年。Chou, P. C. 和 Pagano, N. J. "交替張量。" §8.7 in 彈性:張量、並矢和工程方法 New York: Dover, 第182-186頁,1992年。Evett, A. A. "初等向量分析的排列符號方法。" Amer. J. Phys. 34, 503-507, 1966年。Goldstein, H. 經典力學,第 2 版 Reading, MA: Addison-Wesley, 1980年。Green, A. E. 和 Zerna, W. 理論彈性,第 2 版 New York: Dover, 1992年。Griffiths, D. J. 基本粒子導論 New York: Wiley, 1987年。Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. 數學物理方法,第 3 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, 第69-74頁,1988年。Landau, L. D. 和 Lifschitz, E. M. 彈性理論,第 3 版 修訂增補版 Oxford, England: Pergamon Press, 1986年。Lightman, A. P.; Price, R. H.; 和 Teukolsky, S. 相對論和引力問題集,第 2 版次 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1979年。Misner, C. W.; Thorne, K. S.; 和 Wheeler, J. A. 引力 San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973年。Skiena, S. "簽名。" §1.2.5 in 離散數學實現:Mathematica 的組合數學和圖論 Reading, MA: Addison-Wesley, 1990年。Weinberg, S. 引力與宇宙學:廣義相對論的原理與應用 New York: Wiley, 第38頁,1972年。

在 上引用

排列符號

請引用為

Weisstein, Eric W. “排列符號。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PermutationSymbol.html

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