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置換張量

置換張量，也稱為列維-奇維塔張量或秩為 3 的各向同性張量（Goldstein 1980，第 172 頁），是一個贗張量，它在任意兩個槽的互換下是反對稱的。回顧置換符號的定義，以笛卡爾單位向量的標量三重積表示，

epsilon_(ijk)=x_i^^·(x_j^^xx_k^^)=[x_i^^,x_j^^,x_k^^],
(1)

贗張量是對任意基的推廣，定義為

epsilon_(alphabeta...mu)=sqrt(|g|)[alpha,beta,...,mu]
(2)
epsilon^(alphabeta...mu)=([alpha,beta,...,mu])/(sqrt(|g|)),
(3)

其中

[alpha,beta,...,mu]={1 the arguments are an even permutation; -1 the arguments are an odd permutation; 0 two or more arguments are equal,
(4)

且 g=det(g_(alphabeta)), 其中 g_(alphabeta) 是 度量張量。 epsilon(x_1,...,x_n) 是 非零 當且僅當 向量 是 線性無關。

當被視為張量時，置換符號有時被稱為列維-奇維塔張量。秩為 4 的置換張量 epsilon^(alphabetadeltagamma) 在廣義相對論中很重要，其分量定義為

(epsilon)^(alphabetagammadelta)={+1 if alphabetagammadelta is an even permutation of 0123; -1 if alphabetagammadelta is an odd permutation of 0123; 0 otherwise
(5)

（Weinberg 1972，第 38 頁）。秩為 4 的置換張量滿足恆等式

epsilon_(alphabetagammadelta)=-epsilon^(alphabetagammadelta).
(6)

另請參閱

克羅內克 delta, 置換, 置換符號, 標量三重積

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參考文獻

Chou, P. C. and Pagano, N. J. "The Alternating Tensor." §8.7 in 彈性：張量、並矢和工程方法。 New York: Dover, pp. 182-186, 1992.Goldstein, H. 經典力學，第二版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. 引力。 San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973.Weinberg, S. 引力與宇宙學：廣義相對論原理與應用。 New York: Wiley, 1972.

在 中被引用

置換張量

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "Permutation Tensor." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PermutationTensor.html

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