張量

一個 階張量在 維空間中是一個數學物件，它有 個指標和 個分量，並服從特定的變換規則。張量的每個指標的範圍都覆蓋空間的維度數。然而，在大多數張量方程中，空間的維度在很大程度上是不相關的（但收縮克羅內克 delta 是一個值得注意的例外）。張量是將標量（沒有指標）、向量（有恰好一個指標）和矩陣（有恰好兩個指標）推廣到任意數量指標的概念。

張量為物理學領域（如彈性力學、流體力學和廣義相對論）中問題的公式化和求解提供了一個自然而簡潔的數學框架。

張量的符號表示類似於矩陣（即，），只是張量 , , 等可以有任意數量的指標。此外，秩為 的張量可以是混合型別 ，由 個所謂的“逆變”（上標）指標和 個“協變”（下標）指標組成。請注意，逆變和協變指標放置的槽位位置非常重要，因此，例如， 與 是不同的。

雖然對於一般張量必須區分協變和逆變指標，但在三維歐幾里得空間中的張量，兩者是等價的，這樣的張量被稱為笛卡爾張量。

變換方式類似於零階張量的物件稱為標量，變換方式類似於一階張量的物件稱為向量，變換方式類似於二階張量的物件稱為矩陣。在張量表示法中，向量 將被寫成 ，其中 , ..., ，而矩陣是 型別的張量，在張量表示法中將被寫成 。

張量可以與其他張量（例如度量張量、排列張量或克羅內克 delta）或張量算符（例如協變導數）進行運算。操縱張量指標以產生恆等式或簡化表示式被稱為指標體操，其中包括降指標和升指標作為特例。這些可以透過乘以所謂的度量張量 , , 等來實現，例如：

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(Arfken 1985, 第159頁).

張量表示法可以提供一種非常簡潔的方式來書寫向量和更一般的恆等式。例如，在張量表示法中，點積 可以簡單地寫成

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其中重複的指標被求和（愛因斯坦求和）。類似地，叉積可以簡潔地寫成

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其中 是排列張量。

逆變二階張量是變換如下的物件

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協變二階張量是變換如下的物件

(6)

混合二階張量是變換如下的物件

(7)

如果兩個張量 和 具有相同的秩和相同的協變和逆變指標，那麼它們可以以顯而易見的方式相加，

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點積應用於張量的推廣稱為張量縮並，它包括將兩個不同型別的指標設定為彼此相等，然後使用愛因斯坦求和約定進行求和。可以對張量進行各種型別的求導，最常見的是逗號導數和協變導數。

如果任何張量秩的任何張量的分量在一個特定的座標系中消失，那麼它們在所有座標系中都消失。張量的變數變換將張量變為另一個張量，其分量是原始張量分量的線性齊次函式。

型別為 的張量空間可以描述為 份向量場和 份對偶向量場（即，1-形式）之間的向量空間張量積。例如，

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是-張量在流形 上的向量叢，其中 是 的切叢， 是它的對偶。型別為 的張量構成一個向量空間。這種描述推廣到任何張量型別，並且可逆線性對映 誘導一個對映 ，其中 是對偶向量空間， 是雅可比矩陣，定義為

(12)

其中 是形式的拉回對映，使用雅可比矩陣的轉置定義。此定義可以類似地擴充套件到 和 的其他張量積。當座標發生變化時，張量也類似地變換，其中 是線性變換的雅可比矩陣。