點積

點積可以定義為兩個向量 和 的

(1)

其中 是向量之間的角，|X| 是範數。由此立即得出，如果 垂直於 垂直於 ，則 。因此，點積的幾何解釋為當兩個向量被放置使其尾部重合時， 在單位向量 上的投影的長度。

透過寫作

			(2)
			(3)

由此得出 (1) 產生

			(4)
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			(6)
			(7)

所以，一般來說，

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			(9)

這可以使用愛因斯坦求和約定非常簡潔地寫成

(10)

點積在 Wolfram 語言中實現為Dot[a, b]，或者簡單地使用句點，a . b。

點積是可交換的

(11)

和可分配的

(12)

結合律對於點積沒有意義，因為 未定義，因為 是一個標量，因此它本身不能進行點積運算。然而，它確實滿足以下性質

(13)

對於標量 。

向量點積的導數是

(14)

點積在旋轉下是不變的

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			(17)
			(18)
			(19)
			(20)

其中使用了愛因斯坦求和約定。

點積也稱為標量積和內積。在後一種上下文中，通常寫成 。點積也為張量 和 定義為

(21)

因此對於四向量 和 ，它定義為

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			(23)
			(24)

其中 是通常的三維點積。