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楔積

楔積是外代數中的積。如果 alpha 和 beta 分別是度數為 p 和 q 的微分 k-形式，則

alpha ^ beta=(-1)^(pq)beta ^ alpha.
(1)

它（通常）不是交換的，但它是結合的，

(alpha ^ beta) ^ u=alpha ^ (beta ^ u),
(2)

並且是雙線性的

(c_1alpha_1+c_2alpha_2) ^ beta=c_1(alpha_1 ^ beta)+c_2(alpha_2 ^ beta)
(3)
alpha ^ (c_1beta_1+c_2beta_2)=c_1(alpha ^ beta_1)+c_2(alpha ^ beta_2)
(4)

（Spivak 1999, p. 203），其中 c_1 和 c_2 是常數。外代數由度數為 1 的元素生成，因此可以使用 e_i 在 V 中的基定義楔積

(e_(i_1) ^ ... ^ e_(i_p)) ^ (e_(j_1) ^ ... ^ e_(j_q))=e_(i_1) ^ ... ^ e_(i_p) ^ e_(j_1) ^ ... ^ e_(j_q)
(5)

當索引 i_1,...,i_p,j_1,...,j_q 不同時，乘積為零，否則為零。

雖然當 alpha 的度數為 1 時公式 alpha ^ alpha=0 成立，但它通常不成立。例如，考慮 alpha=e_1 ^ e_2+e_3 ^ e_4

alpha ^ alpha=(e_1 ^ e_2) ^ (e_1 ^ e_2)+(e_1 ^ e_2) ^ (e_3 ^ e_4)+(e_3 ^ e_4) ^ (e_1 ^ e_2)+(e_3 ^ e_4) ^ (e_3 ^ e_4)
(6)
=0+e_1 ^ e_2 ^ e_3 ^ e_4+e_3 ^ e_4 ^ e_1 ^ e_2+0
(7)
=2e_1 ^ e_2 ^ e_3 ^ e_4
(8)

如果 alpha_1,...,alpha_k 的度數為 1，那麼它們線性獨立當且僅當 alpha_1 ^ ... ^ alpha_k!=0。

楔積是計算體積元素時使用的“正確”型別的積

dV=dx_1 ^ ... ^ dx_n.
(9)

因此，楔積可以用於計算平行多面體的行列式和體積。例如，寫成 detA=det(c_1,...,c_n) 其中 c_i 是 A 的列。則

c_1 ^ ... ^ c_n=det(c_1,...,c_n)e_1 ^ ... ^ e_n
(10)

並且 |det(c_1,...,c_n)| 是由 c_1,...,c_n 張成的平行多面體的體積。

另請參閱

上同調, 杯積, 行列式, 微分 k-形式, 外代數, 外微分, 外冪, 內積, 模張量積, 向量空間, 體積, 體積元素

此條目由 Todd Rowland 貢獻

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參考文獻

Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 1 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979a.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 2 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1990a.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 3 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1990b.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 4 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979b.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 5 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979c.

在 中被引用

楔積

如此引用

羅蘭, 託德。“楔積。” 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/WedgeProduct.html

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