平行六面體

在三維空間中，平行六面體是一個稜柱，其面都是平行四邊形。設 、 和 是定義三維平行六面體的基向量。那麼，平行六面體的體積由標量三重積給出

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在 維空間中，平行六面體是由 個向量 , ..., 在實數向量空間上張成的多胞形，

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其中 對於 , ..., 。在通常的解釋中，向量空間被視為歐幾里得空間，並且這個平行六面體的容積由下式給出

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其中行列式的符號被認為是平行六面體“定向體積”的“方向”。

給定 個向量 , ..., 在 維空間中，它們的凸包（以及零向量）

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被稱為平行六面體，推廣了平面中平行四邊形的概念，或者更確切地說，是它的內部。如果向量的數量等於維度，則

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是一個方陣，平行六面體的體積由 給出，其中 的列由向量 給出。更一般地，平行六面體的 維體積由 給出。

當向量是切向量時，平行六面體表示一個無窮小的 維體積元素。對這個體積積分可以得到 維空間中 維物體的體積公式。更本質地，平行六面體對應於外代數 的一個可分解元素。