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行列式

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行列式是在線性方程組的分析和求解中非常有用的數學物件。正如克萊姆法則所示，一個非齊次線性方程組有唯一解，當且僅當該系統的矩陣的行列式非零時（即，該矩陣是非奇異的）。例如，從以下方程中消去 x, y, 和 z

a_1x+a_2y+a_3z=0
(1)
b_1x+b_2y+b_3z=0
(2)
c_1x+c_2y+c_3z=0
(3)

得到表示式

a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1=0,
(4)

這被稱為該方程組的行列式。行列式僅為方陣定義。

如果一個矩陣的行列式為 0，則該矩陣被稱為奇異的，如果行列式為 1，則該矩陣被稱為么模的。

一個矩陣 A 的行列式，

|a_1 a_2 ... a_n; b_1 b_2 ... b_n; | | ... |; z_1 z_2 ... z_n|
(5)

通常表示為 det(A), |A|, 或在分量表示法中表示為 sum(+/-a_1b_2c_3...), D(a_1b_2c_3...), 或 |a_1b_2c_3...| (Muir 1960, p. 17)。請注意，符號 det(A) 在表示行列式的絕對值時可能更方便，即 |det(A)| 而不是 ||A||。行列式在Wolfram 語言中實現為Det[m].

一個 2×2 行列式定義為

det[a b; c d]=|a b; c d|=ad-bc.
(6)

一個 k×k 行列式可以“按子式”展開以獲得

|a_(11) a_(12) a_(13) ... a_(1k); a_(21) a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | | ... |; a_(k1) a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)|=a_(11)|a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)| -a_(12)|a_(21) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k3) ... a_(kk)|+...+/-a_(1k)|a_(21) a_(22) ... a_(2(k-1)); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(k(k-1))|.
(7)

一個矩陣 A 的一般行列式的值為

|A|=sum_(i=1)^ka_(ij)C_(ij),
(8)

其中沒有對 j 的隱含求和，並且 C_(ij) （也表示為 a^(ij)) 是由以下公式定義的 a_(ij) 的餘子式

C_(ij)=(-1)^(i+j)M_(ij).
(9)

而 M_(ij) 是透過從 A 中消除行 i 和列 j 形成的矩陣 A 的子式。這個過程被稱為按子式展開行列式（或“拉普拉斯按子式展開”，有時進一步簡稱為“拉普拉斯展開”）。

行列式也可以透過寫下 {1,...,n} 的所有排列來計算，將每個排列作為字母 a, b, ..., 的下標，並使用由 epsilon_p=(-1)^(i(p)) 確定的符號求和，其中 i(p) 是排列 p 中排列逆序的數量（Muir 1960, p. 16），而 epsilon_(n_1n_2...) 是排列符號。例如，對於 n=3，排列及其包含的逆序數是 123 (0)、132 (1)、213 (1)、231 (2)、312 (2) 和 321 (3)，因此行列式由下式給出

|a_1 a_2 a_3; b_1 b_2 b_3; c_1 c_2 c_3| =a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1.
(10)

如果 a 是一個常數，而 A 是一個 n×n 方陣，那麼

|aA|=a^n|A|.
(11)

給定一個 n×n 行列式，加法逆元是

|-A|=(-1)^n|A|.
(12)

行列式也是可分配的，所以

|AB|=|A||B|.
(13)

這意味著矩陣逆的行列式可以如下找到

|I|=|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|=1,
(14)

其中 I 是單位矩陣，所以

|A|=1/(|A^(-1)|).
(15)

行列式在行和列中是多線性的，因為

|a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 0 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 a_2 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 0 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|
(16)

並且

|a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|.
(17)

矩陣的相似變換的行列式等於原始矩陣的行列式

|BAB^(-1)|=|B||A||B^(-1)|
(18)
=|B||A|1/(|B|)
(19)
=|A|.
(20)

相似變換減去單位矩陣的倍數的行列式由下式給出

|B^(-1)AB-lambdaI|=|B^(-1)AB-B^(-1)lambdaIB|
(21)
=|B^(-1)(A-lambdaI)B|
(22)
=|B^(-1)||A-lambdaI||B|
(23)
=|A-lambdaI|.
(24)

轉置的行列式等於原始矩陣的行列式，

|A|=|A^(T)|,
(25)

而複共軛的行列式等於行列式的複共軛

|A^_|=|A|^_.
(26)

設 epsilon 為一個小數字。那麼

|I+epsilonA|=1+epsilonTr(A)+O(epsilon^2),
(27)

其中 Tr(A) 是 A 的矩陣跡。對於三角矩陣，行列式呈現出特別簡單的形式

|a_(11) a_(21) ... a_(k1); 0 a_(22) ... a_(k2); | | ... |; 0 0 ... a_(kk)|=product_(n=1)^ka_(nn).
(28)

行列式的重要性質包括以下內容，其中包括在初等行和列運算下的不變性。

1. 交換兩行或兩列會改變符號。

2. 標量可以從行和列中分解出來。

3. 行和列的倍數可以相加，而不會改變行列式的值。

4. 一行乘以常數 c 的標量乘法會將行列式乘以 c。

5. 行列式如果有一行或一列為零，則其值為 0。

6. 任何具有兩行或兩列相等的行列式的值都為 0。

性質 1 可以透過歸納法建立。對於一個 2×2 矩陣，行列式為

|a_1 b_1; a_2 b_2|=a_1b_2-b_1a_2
(29)
=-(b_1a_2-a_1b_2)
(30)
=-|b_1 a_1; b_2 a_2|
(31)

對於一個 3×3 矩陣，行列式為

|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|=a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|a_2 b_2; a_3 b_3| =-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|-c_1|a_2 b_2; a_3 b_3|)=-|a_1 c_1 b_1; a_2 c_2 b_2; a_3 c_3 b_3| =-(-a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|b_1 a_1 c_1; b_2 a_2 c_2; b_3 a_3 c_3| =-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|-b_1|c_2 a_2; c_3 a_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|c_1 b_1 a_1; c_2 b_2 a_2; c_3 b_3 a_3|.
(32)

性質 2 同樣成立。對於 2×2 和 3×3 矩陣，

|ka_1 b_1; ka_2 b_2|=k(a_1b_2)-k(b_1a_2)
(33)
=k|a_1 b_1; a_2 b_2|
(34)

並且

|ka_1 b_1 c_1; ka_2 b_2 c_2; ka_3 b_3 c_3|=ka_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|ka_2 c_2; ka_3 c_3|+c_1|ka_2 b_2; ka_3 b_3|
(35)
=k|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|.
(36)

性質 3 由以下恆等式得出

|a_1+kb_1 b_1 c_1; a_2+kb_2 b_2 c_2; a_3+kb_3 b_3 c_3|=(a_1+kb_1)|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2+kb_2 c_2; a_3+kb_3 c_3|+c_1|a_2+kb_2 b_2; a_3+kb_3 b_3|.
(37)

如果 a_(ij) 是一個 n×n 矩陣，其中 a_(ij) 是實數，那麼 det[a_(ij)] 可以解釋為由列向量 [a_(i,1)], ..., [a_(i,n)] 在 R^n 中張成的平行多面體的定向 n 維內容。這裡，“定向”意味著，在 + 或 - 符號的改變範圍內，該數值是 n 維內容，但符號取決於所涉及的列向量的“方向”。如果它們與標準方向一致，則為 + 符號；否則，為 - 符號。由 n 維向量 v_1 到 v_i 張成的平行多面體是點的集合

t_1v_1+...+t_iv_i,
(38)

其中 t_j 是閉區間 [0,1] 中的實數。

一些說法稱，劉易斯·卡羅爾（查爾斯·道奇森）曾向維多利亞女王贈送了一本他的數學著作，其中一種說法是《行列式初等論》。Heath（1974）指出：“一個廣為流傳的故事講述了維多利亞女王被《愛麗絲夢遊仙境》迷住，表示希望收到作者的下一部作品，結果在適當的時候，收到了一本忠誠地題寫了題詞的《行列式初等論》”，而 Gattegno（1974）則斷言“維多利亞女王非常喜歡《愛麗絲》，表示希望收到作者的其他書籍，並被送去了一本道奇森的數學著作。” 然而，在《符號邏輯》（1896）中，卡羅爾宣告：“我藉此機會儘可能公開地反駁一個愚蠢的故事，這個故事一直在報紙上流傳，說我曾向女王陛下贈送過某些書籍。它被不斷重複，並且完全是虛構的，我認為有必要一勞永逸地宣告，它在每個細節上都是完全錯誤的：甚至沒有發生任何類似的事情”（米克爾森和米克爾森）。

DetComplexMatrix

哈達瑪（1893）表明，條目在單位圓盤中的複數 n×n 矩陣的行列式的絕對值滿足

|detA|<=n^(n/2)
(39)

（Brenner 1972）。上面的圖顯示了隨機 n×n 復矩陣的行列式的分佈，其中條目滿足 |a_(ij)|<1，對於 n=2、3 和 4。

另請參閱

凱萊-門格爾行列式, 基奧主元凝結法, 迴圈行列式, 餘子式, 凝結法, 克萊姆法則, 按子式展開行列式, 行列式恆等式, 初等行和列運算, 哈達瑪最大行列式問題, 黑塞矩陣, 超行列式, 積和式, 雅可比矩陣, 紐結行列式, 矩陣, 子式, 積和式, 普法夫行列式, 奇異矩陣, 西爾維斯特行列式恆等式, 西爾維斯特矩陣, 方程組, 么模矩陣, 範德蒙行列式, 朗斯基行列式 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Andrews, G. E. 和 Burge, W. H. “行列式恆等式。” Pacific J. Math. 158, 1-14, 1993年。Arfken, G. “行列式。” 物理學家數學方法，第 3 版 §4.1。奧蘭多，佛羅里達州：Academic Press，第 168-176 頁，1985年。Brenner, J. 和 Cummings, L. “哈達瑪最大行列式問題。” Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972年。Dodgson, C. L. 行列式初等論，及其在聯立線性方程和代數幾何中的應用。 倫敦：Macmillan，1867年。Dostor, G. 行列式理論要素，及其在平面和空間代數、三角學和解析幾何中的應用，第二版。巴黎：Gauthier-Villars，1905年。Gattegno, J. 劉易斯·卡羅爾：鏡中碎片。 紐約：Crowell，1974年。Hadamard, J. “關於行列式問題的解決。” Bull. Sci. Math. 17, 30-31, 1893年。Heath, P. 哲學家的愛麗絲：愛麗絲夢遊仙境和鏡中奇遇記。 紐約：St. Martin's Press，1974年。Kowalewski, G. 行列式理論導論。 紐約：Chelsea，1948年。Mikkelson, D. P. 和 Mikkelson, B. “女王的合適人選。” http://www.snopes.com/language/literary/carroll.htm。Muir, T. 行列式理論論著。 紐約：Dover，1960年。Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. “行列式和線性方程。” 觀測演算：數值數學論著，第 4 版 第 5 章。紐約：Dover，第 71-77 頁，1967年。Yvinec, Y. “幾何計算：行列式的精確符號。” http://www-sop.inria.fr/prisme/personnel/yvinec/Determinants/english.html。

在 中被引用

行列式

請引用為

Weisstein, Eric W. “行列式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Determinant.html

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