克萊姆法則

給定一組線性方程

(1)

考慮 行列式

(2)

現在將 乘以 ，並使用 行列式 的性質，即乘以一個常數等價於將單列中的每個條目乘以該常數，因此

(3)

行列式 的另一個性質使我們能夠將任意列的常數倍加到任何列並獲得相同的 行列式，因此將 乘以第 2 列，將 乘以第 3 列加到第 1 列，

(4)

如果 ，則 (4) 簡化為 ，因此係統只有在 的情況下才具有非退化解（即，除 (0, 0, 0) 之外的解）（在這種情況下，存在一系列解）。如果 且 ，則系統沒有唯一解。相反，如果 且 ，則解由下式給出

(5)

同樣適用於

			(6)
			(7)

此過程可以推廣到一組 方程，因此，給定一個 線性方程組

(8)

令

(9)

如果 ，則非退化解僅在 的情況下存在。如果 且 ，則系統沒有唯一解。否則，計算

(10)

然後 對於 。 在三維情況下，克萊姆法則的 向量 類似物是

(11)