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單模矩陣

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單模矩陣是一個實數 方陣 A，其行列式 det(A)=+/-1 為 det(A)=+/-1 (Born and Wolf 1980, p. 55; Goldstein 1980, p. 149)。更一般地，一個在域 F 的多項式域 F[x] 中具有元素的矩陣 A 被稱為單模的，如果它有一個逆矩陣，其元素也在 F[x] 中。因此，矩陣 A 是單模的 當且僅當 它的行列式是 F[x] 的一個單位 (MacDuffee 1943, p. 137)。

單模實數矩陣的矩陣逆是另一個單模矩陣。

有無數個不包含 0 或 +/-1 的 3×3 單模矩陣。一個引數族是

[8n^2+8n 2n+1 4n; 4n^2+4n n+1 2n+1; 4n^2+4n+1 n 2n-1].
(1)

具有小正整數項的單模矩陣的具體例子包括

[2 3 2; 4 2 3; 9 6 7],[2 3 5; 3 2 3; 9 5 7],[2 3 6; 3 2 3; 17 11 16],...
(2)

(Guy 1989, 1994)。

單模矩陣的 n 次冪

M=[m_(11) m_(12); m_(21) m_(22)]
(3)

由下式給出

M^n=[m_(11)U_(n-1)(a)-U_(n-2)(a) m_(12)U_(n-1)(a); m_(21)U_(n-1)(a) m_(22)U_(n-1)(a)-U_(n-2)(a)],
(4)

其中

a=1/2(m_(11)+m_(22))
(5)

並且 U_n 是第二類切比雪夫多項式，

U_m(x)=(sin[(m+1)cos^(-1)x])/(sqrt(1-x^2))
(6)

(Born and Wolf 1980, p. 67)。

另請參閱

第二類切比雪夫多項式, 行列式, 單位矩陣, 單位矩陣

使用 探索

參考文獻

Born, M. and Wolf, E. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, and Diffraction of Light, 6th ed. New York: Pergamon Press, pp. 55 and 67, 1980.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 149, 1980.Guy, R. K. "Unsolved Problems Come of Age." Amer. Math. Monthly 96, 903-909, 1989.Guy, R. K. "A Determinant of Value One." §F28 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 265-266, 1994.MacDuffee, C. C. Vectors and Matrices. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1943.Séroul, R. Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, p. 162, 2000.

在 上被引用

單模矩陣

請引用為

Weisstein, Eric W. "單模矩陣。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/UnimodularMatrix.html

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