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切比雪夫第二類多項式

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ChebyshevU

一組修改過的切比雪夫多項式，由略有不同的母函式定義。它們出現在角動量理論中四維球諧函式的展開中。它們是蓋根鮑爾多項式的特殊情況，其中 alpha=1。它們也與三角多倍角公式密切相關。切比雪夫第二類多項式記為 U_n(x)，並在 Wolfram 語言中實現為ChebyshevU[n, x]。 上圖說明了多項式 U_n(x)，其中 x in [-1,1] 和 n=1, 2, ..., 5。

前幾個切比雪夫第二類多項式是

U_0(x)=1
(1)
U_1(x)=2x
(2)
U_2(x)=4x^2-1
(3)
U_3(x)=8x^3-4x
(4)
U_4(x)=16x^4-12x^2+1
(5)
U_5(x)=32x^5-32x^3+6x
(6)
U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1.
(7)

當按最小到最大冪排序時，非零係數的三角形為 1； 2； -1, 4; -4, 8; 1, -12, 16; 6, -32, 32; ... （OEIS A053117）。

切比雪夫第二類多項式的定義母函式是

g(t,x)=1/(1-2xt+t^2)
(8)
=sum_(n=0)^(infty)U_n(x)t^n
(9)

對於 |x|<1 和 |t|<1。為了看到與切比雪夫第一類多項式 T(x) 的關係，對公式 (9) 求 partial/partialt 得到

(partialg)/(partialt)=2(x-t)(1-2xt+t^2)^(-2)
(10)
=sum_(n=0)^(infty)nU_n(x)t^(n-1).
(11)

將 (◇) 乘以 t 然後得到

(2xt-2t^2)(1-2xt+t^2)^(-2)=sum_(n=0)^inftynU_n(x)t^n
(12)

將 (12) 和 (◇) 相加得到

((2xt-2t^2)+(1-2xt+t^2))/((1-2xt+t^2)^2)=(1-t^2)/((1-2xt+t^2)^2)
(13)
=sum_(n=0)^(infty)(n+1)U_n(x)t^n.
(14)

這與切比雪夫第一類多項式的母函式相同，只是在分母中多了一個因子 1-2xt+t^2。

羅德里格斯公式對於 U_n 是

U_n(x)=((-1)^n(n+1)sqrt(pi))/(2^(n+1)(n+1/2)!(1-x^2)^(1/2))(d^n)/(dx^n)[(1-x^2)^(n+1/2)].
(15)

這些多項式也可以用求和來定義

U_n(x)=sum_(r=0)^(|_n/2_|)(-1)^r(n-r; r)(2x)^(n-2r)
(16)
=sum_(m=0)^(|_n/2_|)(n+1; 2m+1)x^(n-2m)(x^2-1)^m,
(17)

其中 |_x_| 是向下取整函式，[x] 是向上取整函式，或者用乘積來定義

U_n(x)=2^nproduct_(k=1)^n[x-cos((kpi)/(n+1))]
(18)

（Zwillinger 1995，第 696 頁）。

U_n(x) 也服從有趣的行列式恆等式

U_n=|2x 1 0 0 ... 0 0; 1 2x 1 0 ... 0 0; 0 1 2x 1 ... 0 0; 0 0 1 2x ... 0 0; 0 0 0 1 ... 1 0; | ... ... ... ... ... 1; 0 0 0 0 ... 1 2x|.
(19)

切比雪夫第二類多項式是雅可比多項式 P_n^((alpha,beta)) 的特殊情況，其中 alpha=beta=1/2,

U_n(x)=(n+1)(P_n^((1/2,1/2))(x))/(P_n^((1/2,1/2))(1))
(20)
=(n+1)_2F_1(-n,n+2;3/2;1/2(1-x)),
(21)

其中 _2F_1(a,b;c;x) 是超幾何函式 (Koekoek and Swarttouw 1998)。

令 x=costheta 允許將切比雪夫第二類多項式寫成

U_n(x)=(sin[(n+1)theta])/(sintheta).
(22)

變換後的微分方程的第二個線性相關解由下式給出

W_n(x)=(cos[(n+1)theta])/(sintheta),
(23)

也可以寫成

W_n(x)=(1-x^2)^(-1/2)T_(n+1)(x),
(24)

其中 T_n(x) 是切比雪夫第一類多項式。請注意，因此 W_n(x) 不是多項式。

結式 rho(U_n(x),U_k(x)) 的三角形由 {0}, {-4,0}, {0,-64,0}, {16,256,4096,0}, {0,0,0,1048576,0}, ... (OEIS A054376) 給出。

另請參閱

切比雪夫逼近公式, 切比雪夫第一類多項式, 蓋根鮑爾多項式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/ChebyshevU/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/ChebyshevUGeneral/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Arfken, G. "Chebyshev (Tschebyscheff) Polynomials" and "Chebyshev Polynomials--Numerical Applications." §13.3 and 13.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 731-748, 1985.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Chebyshev." §1.8.2 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 41-43, 1998.Koepf, W. "Efficient Computation of Chebyshev Polynomials." In Computer Algebra Systems: A Practical Guide (Ed. M. J. Wester). New York: Wiley, pp. 79-99, 1999.Pegg, E. Jr. "ChebyshevU." http://www.mathpuzzle.com/ChebyshevU.html.Rivlin, T. J. Chebyshev Polynomials. New York: Wiley, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A053117 and A054376 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Chebyshev Polynomials T_n(x) and U_n(x)." Ch. 22 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 193-207, 1987.Vasilyev, N. and Zelevinsky, A. "A Chebyshev Polyplayground: Recurrence Relations Applied to a Famous Set of Formulas." Quantum 10, 20-26, Sept./Oct. 1999.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 上被引用

切比雪夫第二類多項式

請引用為

Eric W. Weisstein. "切比雪夫第二類多項式." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html

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