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多倍角公式

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對於 n 為正整數，形如 以下形式 的表示式 sin(nx), cos(nx), 和 tan(nx) 可以僅使用 尤拉公式 和 二項式定理 用 sinx 和 cosx 表示。

對於 sin(nx),

sin(nx)=(e^(inx)-e^(-inx))/(2i)
(1)
=((e^(ix))^n-(e^(-ix))^n)/(2i)
(2)
=((cosx+isinx)^n-(cosx-isinx)^n)/(2i)
(3)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)(cos^kx(isinx)^(n-k)-cos^kx(-isinx)^(n-k))/(2i)
(4)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)x(i^(n-k)-(-i)^(n-k))/(2i)
(5)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)xsin[1/2(n-k)pi].
(6)

前幾個值由下式給出

sin(2x)=2cosxsinx
(7)
sin(3x)=3cos^2xsinx-sin^3x
(8)
sin(4x)=4cos^3xsinx-4cosxsin^3x
(9)
sin(5x)=5cos^4xsinx-10cos^2xsin^3x+sin^5x.
(10)

其他相關公式包括

sin(nx)=sinxsum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)(-1)^k(n-k-1; k)2^(n-2k-1)cos^(n-2k-1)x
(11)
=sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)(-1)^k(n; 2k+1)sin^(2k+1)xcos^(n-2k-1)x,
(12)

其中 |_x_| 是 向下取整函式。

對於 sin(nx) 的乘積公式由下式給出

sin(nx)=2^(n-1)product_(k=0)^(n-1)sin((pik)/n+x).
(13)

函式 sin(nx) 也可以表示為 sinx 的多項式（對於 n 為奇數）或 cosx 乘以 sinx 的多項式，如下所示

sin(nx)={(-1)^((n-1)/2)T_n(sinx) for n odd; (-1)^(n/2-1)cosxU_(n-1)(sinx) for n even,
(14)

其中 T_n 是 第一類切比雪夫多項式，U_n 是 第二類切比雪夫多項式。前幾個例子是

sin(2x)=2cosxsinx
(15)
sin(3x)=3sinx-4sin^3x
(16)
sin(4x)=cosx(4sinx-8sin^3x)
(17)
sin(5x)=5sinx-20sin^3x+16sin^5x.
(18)

類似地，sin(nx) 可以表示為 sinx 乘以 cosx 的多項式，如下所示

sin(nx)=sinxU_(n-1)(cosx).
(19)

前幾個例子是

sin(2x)=2cosxsinx
(20)
sin(3x)=sinx(-1+4cos^2x)
(21)
sin(4x)=sinx(-4cosx+8cos^3x)
(22)
sin(5x)=sinx(1-12cos^2x+16cos^4x).
(23)

Bromwich (1991) 給出了公式

sin(na)={nx-(n(n^2-1^2)x^3)/(3!)+(n(n^2-1^2)(n^2-3^2)x^5)/(5!)-... for n odd; ncosa[x-((n^2-2^2)x^3)/(3!)+((n^2-2^2)(n^2-4^2)x^5)/(5!)-...] for n even,
(24)

其中 x=sina。

對於 cos(nx)，多倍角公式可以推導為

cos(nx)=(e^(inx)+e^(-inx))/2
(25)
=((e^(ix))^n+(e^(-ix))^n)/2
(26)
=((cosx+isinx)^n+(cosx-isinx)^n)/2
(27)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)(cos^kx(isinx)^(n-k)+cos^kx(-isinx)^(n-k))/2
(28)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)x(i^(n-k)+(-i)^(n-k))/2
(29)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)xcos[1/2(n-k)pi].
(30)

前幾個值是

cos(2x)=cos^2x-sin^2x
(31)
cos(3x)=cos^3x-3cosxsin^2x
(32)
cos(4x)=cos^4x-6cos^2xsin^2x+sin^4x
(33)
cos(5x)=cos^5x-10cos^3xsin^2x+5cosxsin^4x.
(34)

其他相關公式包括

cos(nx)=nsum_(k=0)^(|_n/2_|)((-1)^k(n-k-1)!2^(n-2k-1)cos^(n-2k)x)/(k!(n-2k!))
(35)
=2^(n-1)cos^nx+nsum_(k=1)^(|_n/2_|)((-1)^k)/k(n-k-1; k-1)2^(n-2k-1)cos^(n-2k)x
(36)
=sum_(k=0)^(|_n/2_|)(-1)^k(n; 2k)sin^(2k)xcos^(n-2k)x.
(37)

函式 cos(nx) 也可以表示為 sinx 的多項式（對於 n 為偶數）或 cosx 乘以 sinx 的多項式，如下所示

cos(nx)={(-1)^((n-1)/2)cosxU_(n-1)(sinx) for n odd; (-1)^(n/2)T_n(sinx) for n even.
(38)

前幾個例子是

cos(2x)=1-2sin^2x
(39)
cos(3x)=cosx(1-4sin^2x)
(40)
cos(4x)=1-8sin^2x+8sin^4x
(41)
cos(5x)=cosx(1-12sin^2x+16sin^4x).
(42)

類似地，cos(nx) 可以表示為 cosx 的多項式，如下所示

cos(nx)=T_n(cosx).
(43)

前幾個例子是

cos(2x)=-1+2cos^2x
(44)
cos(3x)=-3cosx+4cos^3x
(45)
cos(4x)=1-8cos^2x+8cos^4x
(46)
cos(5x)=5cosx-20cos^3x+16cos^5x.
(47)

Bromwich (1991) 給出了公式

cos(na)={cosa[1-((n^2-1^2)x^2)/(2!)+((n^2-1^2)(n^2-3^2)x^4)/(4!)-...] n odd; 1-(n^2x^2)/(2!)+(n^2(n^2-2^2)x^4)/(4!)-... n even,
(48)

其中 x=sina。

前幾個 tan(nx) 的多倍角公式為

tan(2x)=(2tanx)/(1-tan^2x)
(49)
tan(3x)=(3tanx-tan^3x)/(1-3tan^2x)
(50)
tan(4x)=(4tanx-4tan^3x)/(1-6tan^2x+tan^4x)
(51)

由 Beyer (1987, p. 139) 給出，最高可達 n=6。

多倍角公式也可以使用 遞推關係 編寫

sin(nx)=2sin[(n-1)x]cosx-sin[(n-2)x]
(52)
cos(nx)=2cos[(n-1)x]cosx-cos[(n-2)x]
(53)
tan(nx)=(tan[(n-1)x]+tanx)/(1-tan[(n-1)x]tanx).
(54)

參見

二倍角公式, 半形公式, 雙曲函式, 積化和差公式, 三角和角公式, 三角函式, 三角學

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Bromwich, T. J. I'A. 和 MacRobert, T. M. 無窮級數理論導論，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 202-207, 1991.

在 上被引用

多倍角公式

引用為

Weisstein, Eric W. "多倍角公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Multiple-AngleFormulas.html

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