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雙曲函式

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雙曲函式 sinhz, coshz, tanhz, cschz, sechz, cothz ( 雙曲正弦 , 雙曲餘弦 , 雙曲正切 , 雙曲餘割 , 雙曲正割 , 和 雙曲餘切 ) 是 圓函式 的類似物，透過移除復指數中出現的 is 定義。例如，

cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz)),
(1)

所以

coshz=1/2(e^z+e^(-z)).
(2)

請注意，有時會使用替代符號，如下表所示。

f(x)替代符號
coshzchz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
cothzcthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
sinhzshz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
tanhzthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)

雙曲函式與相應的 圓函式 共享許多屬性。事實上，正如 圓 可以引數化表示為

x=acost
(3)
y=asint,
(4)

等軸雙曲線 （或更具體地說，其右分支）可以類似地表示為

x=acosht
(5)
y=asinht,
(6)

其中 cosht 是 雙曲餘弦 ，sinht 是 雙曲正弦 。

雙曲函數出現在許多數學和數學物理問題中，這些問題涉及包含 sqrt(1+x^2) 的積分（而 圓函式 涉及 sqrt(1-x^2) ）。例如， 雙曲正弦 出現在圓柱體的引力勢和洛希極限的計算中。 雙曲餘弦 函式是懸掛電纜的形狀（所謂的 懸鏈線 ）。 雙曲正切 出現在狹義相對論的計算和速動性中。所有這三個都出現在廣義相對論中使用外部各向同性 Kruskal 座標的 Schwarzschild 度量中。 雙曲正割 出現在層流射流的輪廓中。 雙曲餘切 出現在磁極化的 Langevin 函式中。

雙曲函式定義為

sinhz=(e^z-e^(-z))/2
(7)
=-sinh(-z)
(8)
coshz=(e^z+e^(-z))/2
(9)
=cosh(-z)
(10)
tanhz=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
(11)
=(e^(2z)-1)/(e^(2z)+1)
(12)
cschz=2/(e^z-e^(-z))
(13)
sechz=2/(e^z+e^(-z))
(14)
cothz=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
(15)
=(e^(2z)+1)/(e^(2z)-1).
(16)

對於乘以 i 的引數，

sinh(iz)=isinz
(17)
cosh(iz)=cosz.
(18)

雙曲函式滿足許多類似於三角恆等式的恆等式（可以使用 奧斯本規則 推斷），例如

cosh^2x-sinh^2x=1
(19)
coshx+sinhx=e^x
(20)
coshx-sinhx=e^(-x).
(21)

另請參見 Beyer (1987, p. 168)。

一些 半形公式 是

tanh(z/2)=(sinhx+isiny)/(coshx+cosy)
(22)
coth(z/2)=(sinhx-isiny)/(coshx-cosy),
(23)

其中 z=x+iy。

一些 倍角公式 是

sinh(2z)=2sinhzcoshz
(24)
cosh(2z)=2cosh^2z-1
(25)
=1+2sinh^2z.
(26)

複數 引數的恆等式包括

sinh(x+iy)=sinhxcosy+icoshxsiny
(27)
cosh(x+iy)=coshxcosy+isinhxsiny.
(28)

複數 引數的 絕對平方 為

|sinh(z)|^2=sinh^2x+sin^2y
(29)
|cosh(z)|^2=sinh^2x+cos^2y.
(30)

另請參見

倍角公式, 斐波那契雙曲函式, 半形公式, 雙曲餘割, 雙曲餘弦, 雙曲餘切, 廣義雙曲函式, 雙曲正割, 雙曲正弦, 雙曲正切, 反雙曲函式, 奧斯本規則

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Anderson, J. W. "Trigonometry in the Hyperbolic Plane." §5.7 in Hyperbolic Geometry. New York: Springer-Verlag, pp. 146-151, 1999.Beyer, W. H. "Hyperbolic Function." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 168-186 and 219, 1987.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 126-131, 1967.Harris, J. W. and Stocker, H. "Hyperbolic Functions." Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 245-262, 1998.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Yates, R. C. "Hyperbolic Functions." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 113-118, 1952.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 上引用

雙曲函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙曲函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicFunctions.html

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