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雙曲正切


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類似於通常的正切

 tanz=(sinz)/(cosz),
(1)

雙曲正切定義為

tanhz=(sinhz)/(coshz)
(2)
=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
(3)
=(e^(2z)-1)/(e^(2z)+1),
(4)

其中 sinhz雙曲正弦,而 coshz雙曲餘弦。符號 thz 有時也使用(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxix)。

tanhzWolfram 語言中實現為Tanh[z]。

特殊值包括

tanh0=0
(5)
tanh(lnphi)=1/5sqrt(5),
(6)

其中 phi黃金比例

導數 tanhz

 d/(dz)tanhz=sech^2z,
(7)

更高階導數由下式給出

 (d^n)/(dz^n)tanhz=(2^(n+1)e^(2z))/((1+e^(2z))^(n+1))sum_(k=0)^(n-1)<n; k>(-1)^ke^(2kz),
(8)

其中 <n; k>尤拉數

不定積分 由下式給出

 inttanhzdz=ln(coshz)+C.
(9)

tanhz 具有泰勒級數

tanhz=sum_(n=0)^(infty)(2^(2n)(2^(2n)-1)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)
(10)
=z-1/3z^3+2/(15)z^5-(17)/(315)z^7+(62)/(2835)z^9-...
(11)

(OEIS A002430A036279)。

正如高斯在 1812 年表明的那樣,雙曲正切可以寫成連分數形式:

 tanhx=x/(1+(x^2)/(3+(x^2)/(5+...)))
(12)

(Wall 1948, p. 349; Olds 1963, p. 138)。這個連分數也稱為 Lambert 連分數 (Wall 1948, p. 349)。

雙曲正切 tanhx 滿足二階常微分方程

 1/2f^('')=f^3-f
(13)

以及邊界條件 f(0)=0f^'(infty)=0


另請參閱

伯努利數, 懸鏈線, 相關係數 - 二元正態分佈, Fisher's z-'-變換, 雙曲餘切, 雙曲函式, 反雙曲正切, 洛倫茲群, 墨卡託投影, 扁球面座標, 偽球面, 旋轉曲面, 正切, 曳物線

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). “雙曲函式”。§4.5 in 數學函式手冊,包含公式、圖表和數學表格,第 9 版。 紐約:Dover,pp. 83-86, 1972。Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表,第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000。Jeffrey, A. “雙曲恆等式”。§2.5 in 數學公式和積分手冊,第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000。Olds, C. D. 連分數。 New York: Random House, 1963。Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A002430/M2100 和 A036279Spanier, J. and Oldham, K. B. “雙曲正切函式和雙曲餘切函式”。Ch. 30 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 279-284, 1987。Wall, H. S. 連分數解析理論。 New York: Chelsea, 1948。Zwillinger, D. (Ed.). “雙曲函式”。§6.7 in CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995。

在 中被引用

雙曲正切

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “雙曲正切。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicTangent.html

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