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二階常微分方程

形如以下的常微分方程

y^('')+P(x)y^'+Q(x)y=0.
(1)

當 x=x_0 為有限值時，這類方程在以下條件下具有奇點： (a) 如果當 P(x) 或 Q(x) 發散，但當 x->x_0 時，(x-x_0)P(x) 和 (x-x_0)^2Q(x) 保持有限，則 x_0 稱為正則奇點或非本質奇點。(b) 如果 P(x) 的發散速度比 (x-x_0)^(-1) 快，以至於當 x->x_0 時 (x-x_0)P(x)->infty，或者 Q(x) 的發散速度比 (x-x_0)^(-2) 快，以至於當 x->x_0 時 (x-x_0)^2Q(x)->infty，則 x_0 稱為非正則奇點或本質奇點。

為了研究方程 (1) 在無窮遠處的奇點，我們進行替換 x=z^(-1)，因此 dx=-z^(-2)dz，得到

(dy)/(dx)=-z^2(dy)/(dz)
(2)
(d^2y)/(dx^2)=-z^2d/(dz)(-z^2(dy)/(dz))
(3)
=-z^2(-2z(dy)/(dz)-z^2(d^2y)/(dz^2))
(4)
=2z^3(dy)/(dz)+z^4(d^2y)/(dz^2).
(5)

那麼 (3) 變為

z^4(d^2y)/(dz^2)+[2z^3-z^2P(z^(-1))](dy)/(dz)+Q(z^(-1))y=0.
(6)

情況 (a)：如果

alpha(z)=(2z-P(z^(-1)))/(z^2)
(7)
beta(z)=(Q(z^(-1)))/(z^4)
(8)

在 x=+/-infty (z=0) 處保持有限，則該點是常點。情況 (b)：如果 alpha(z) 的發散速度不超過 1/z，或者 beta(z) 的發散速度不超過 1/z^2，則該點是正則奇點。情況 (c)：否則，該點是非正則奇點。

Morse 和 Feshbach (1953, pp. 667-674) 給出了按奇點型別分類的二階常微分方程的規範形式和解法。

對於特殊型別的線性二階常微分方程，可變係數可以轉換為常係數。給定一個具有可變係數的二階線性 ODE

(d^2y)/(dx^2)+p(x)(dy)/(dx)+q(x)y=0.
(9)

定義函式 z=y(x),

(dy)/(dx)=(dz)/(dx)(dy)/(dz)
(10)
(d^2y)/(dx^2)=((dz)/(dx))^2(d^2y)/(dz^2)+(d^2z)/(dx^2)(dy)/(dz)
(11)
((dz)/(dx))^2(d^2y)/(dz^2)+[(d^2z)/(dx^2)+p(x)(dz)/(dx)](dy)/(dz)+q(x)y=0
(12)
(d^2y)/(dz^2)+[((d^2z)/(dx^2)+p(x)(dz)/(dx))/(((dz)/(dx))^2)](dy)/(dz)+[(q(x))/(((dz)/(dx))^2)]y
(13)
=(d^2y)/(dz^2)+A(dy)/(dz)+By=0.
(14)

如果 A 和 B 不是 x 的函式，這將具有常係數。但是，對於 q(x)>=0，我們可以透過將 z 定義為以下形式，將 B 設定為任意正常數

z=B^(-1/2)int[q(x)]^(1/2)dx.
(15)

那麼

(dz)/(dx)=B^(-1/2)[q(x)]^(1/2)
(16)
(d^2z)/(dx^2)=1/2B^(-1/2)[q(x)]^(-1/2)q^'(x),
(17)

和

A=(1/2B^(-1/2)[q(x)]^(-1/2)q^'(x)+B^(-1/2)p(x)[q(x)]^(1/2))/(B^(-1)q(x))
(18)
=(q^'(x)+2p(x)q(x))/(2[q(x)]^(3/2))B^(1/2).
(19)

因此，方程 (◇) 變為

(d^2y)/(dz^2)+(q^'(x)+2p(x)q(x))/(2[q(x)]^(3/2))B^(1/2)(dy)/(dz)+By=0,
(20)

只要滿足以下條件，它就具有常係數

A=(q^'(x)+2p(x)q(x))/(2[q(x)]^(3/2))B^(1/2)=[constant].
(21)

消除常數，得到

A^'=(q^'(x)+2p(x)q(x))/([q(x)]^(3/2))=[constant].
(22)

因此，對於 A^' 為常數的常微分方程，解可以透過求解具有常係數的二階線性 ODE 得到

(d^2y)/(dz^2)+A(dy)/(dz)+By=0
(23)

對於 z，其中 z 的定義如上。

一般形式的線性二階齊次微分方程

y^('')+P(x)y^'+Q(x)y=0
(24)

可以轉換為標準形式

z^('')+q(x)z=0
(25)

透過使用以下替換消除一階項

lny=lnz-1/2intP(x)dx.
(26)

那麼

(y^')/y=(z^')/z-1/2P(x)
(27)
(yy^('')-y^('2))/(y^2)=(zz^('')-z^('2))/(z^2)-1/2P^'(x)
(28)
(y^(''))/y-((y^')/y)^2=(z^(''))/z-(z^('2))/(z^2)-1/2P^'(x)
(29)
(y^(''))/y=[(z^')/z-1/2P(x)]^2+(z^(''))/z-(z^('2))/(z^2)-1/2P^'(x)
(30)
=(z^('2))/(z^2)-(z^')/zP(x)+1/4P^2(x)+(z^(''))/z-(z^('2))/(z^2)-1/2P^'(x),
(31)

因此

(y^(''))/y+P(x)(y^')/y+Q(x)=-(z^')/zP(x)+1/4P^2(x)+(z^(''))/z-1/2P^'(x)+P(x)[(z^')/z-1/2P(x)]+Q(x)
(32)
=(z^(''))/z-1/2P^'(x)-1/4P^2(x)+Q(x)=0.
(33)

因此，

z^('')+[Q(x)-1/2P^'(x)-1/4P^2(x)]z=z^('')(x)+q(x)z=0,
(34)

其中

q(x)=Q(x)-1/2P^'(x)-1/4P^2(x).
(35)

如果 Q(x)=0，則微分方程變為

y^('')+P(x)y^'=0,
(36)

可以透過乘以以下項來求解

exp[int^xP(x^')dx^']
(37)

得到

0=d/(dx){exp[int^xP(x^')dx^'](dy)/(dx)}
(38)
c_1=exp[int^xP(x^')dx^'](dy)/(dx)
(39)
y=c_1int^x(dx)/(exp[int^xP(x^')dx^'])+c_2.
(40)

對於非齊次二階常微分方程，其中 x 項不出現在函式 f(x,y,y^') 中，

(d^2y)/(dx^2)=f(y,y^'),
(41)

令 v=y^'，則

(dv)/(dx)=f(v,y)=(dv)/(dy)(dy)/(dx)=v(dv)/(dy).
(42)

因此，一階 ODE

v(dv)/(dy)=f(y,v),
(43)

如果是線性的，可以作為線性一階 ODE 求解 v。一旦解已知，

(dy)/(dx)=v(y)
(44)
int(dy)/(v(y))=intdx.
(45)

另一方面，如果 y 從 f(x,y,y^') 中缺失，

(d^2y)/(dx^2)=f(x,y^'),
(46)

令 v=y^'，則 v^'=y^('')，方程簡化為

v^'=f(x,v),
(47)

如果是線性的，可以作為線性一階 ODE 求解 v。一旦解已知，

y=intv(x)dx.
(48)

如果已知齊次版本的通解，則可以求解非齊次常微分方程，在這種情況下，可以使用引數變分法找到特解。特別地，非齊次二階常微分方程的特解 y^*(x)

y^('')+p(x)y^'+q(x)y=g(x)
(49)

可以使用引數變分法找到，由以下方程給出

y^*(x)=-y_1(x)int(y_2(x)g(x))/(W(x))dx+y_2(x)int(y_1(x)g(x))/(W(x))dx,
(50)

其中 y_1(x) 和 y_2(x) 是無源方程的齊次解

y^('')+p(x)y^'+q(x)y=0
(51)

而 W(x) 是這兩個函式的 Wronskian 行列式。

另請參閱

阿貝爾微分方程恆等式, 伴隨, 一階常微分方程, 常微分方程, 二階常微分方程的第二解, 待定係數法, 引數變分法 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667-674, 1953.

在 中被引用

二階常微分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "Second-Order Ordinary Differential Equation." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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