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常微分方程

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常微分方程（通常稱為“ODE”，“diff eq”或“diffy Q”）是包含函式及其導數的等式。 n階ODE是如下形式的方程

F(x,y,y^',...,y^((n)))=0,
(1)

其中 y 是 x 的函式， y^'=dy/dx 是關於 x 的一階導數，而 y^((n))=d^ny/dx^n 是關於 x 的第 n 階導數。

如果已知齊次版本的通解，則可以求解非齊次常微分方程，在這種情況下，可以使用待定係數法或引數變分法來找到特解。

許多常微分方程可以使用 Wolfram 語言精確求解，使用DSolve[eqn, y, x]，以及使用NDSolve[eqn, y, {x, xmin, xmax}] 進行數值求解。

如果 n 階ODE是如下形式，則稱其為線性ODE

a_n(x)y^((n))+a_(n-1)(x)y^((n-1))+...+a_1(x)y^'+a_0(x)y=Q(x).
(2)

其中 Q(x)=0 的線性ODE被稱為齊次的。 令人困惑的是，如下形式的ODE

y^'=f(y/x)
(3)

有時也稱為“齊次”。

一般來說，一個 n 階ODE有 n 個線性無關的解。 此外，線性無關函式解的任何線性組合也是一個解。

對於一階（積分因子）和二階（Sturm-Liouville 理論）常微分方程，以及具有線性常數係數的任意ODE，當它們具有某些可分解形式時，存在簡單的理論。 諸如拉普拉斯變換之類的積分變換也可以用於求解線性ODE的類別。 Morse 和 Feshbach (1953, pp. 667-674) 給出了二階常微分方程的規範形式和解。

雖然有許多通用技術可以分析求解各類ODE，但對於複雜方程，唯一實用的求解技術是使用數值方法（Milne 1970，Jeffreys 和 Jeffreys 1988）。 其中最流行的是Runge-Kutta 方法，但也開發了許多其他方法，包括配置法和Galerkin 方法。 大量的研究和大量的出版物致力於微分方程（包括常微分方程和偏微分方程 (PDE)）的數值解，這是因為它們在物理學、工程學、經濟學和電子學等不同領域中的重要性。

ODE的解滿足存在性和唯一性性質。 這些可以透過某些ODE類別的皮卡德存在定理正式確立。 設一個一階ODE系統由下式給出

(dx_i)/(dt)=f_i(x_1,...,x_n,t),
(4)

對於 i=1, ..., n，並令函式 f_i(x_1,...,x_n,t)，其中 i=1, ..., n，全部在變數 x_1, ..., x_n, t 的 (n+1) 維空間的域 D 中定義。 設這些函式在 D 中連續，並且具有連續的一階偏導數 partialf_i/partialx_j 對於 i=1, ..., n 和 j=1, ..., n 在 D 中。 令 (x_1^0,...,x_n^0) 在 D 中。 那麼存在一個解 (4) 由下式給出

x_1=x_1(t),...,x_n=x_n(t)
(5)

對於 t_0-delta<t<t_0+delta （其中 delta>0），滿足初始條件

x_1(t_0)=x_1^0,...,x_n(t_0)=x_n^0.
(6)

此外，解是唯一的，因此如果

x_1=x_1^*(t),...,x_n=x_n^*(t)
(7)

是 (◇) 對於 t_0-delta<t<t_0+delta 且滿足 (◇) 的第二個解，那麼 x_i(t)=x_i^*(t) 對於 t_0-delta<t<t_0+delta。 因為每個 n 階ODE可以表示為 n 個一階ODE的系統，所以該定理也適用於單個 n 階ODE。

恰當一階常微分方程是如下形式的一種

p(x,y)dx+q(x,y)dy=0,
(8)

其中

(partialp)/(partialy)=(partialq)/(partialx).
(9)

形式為 (◇) 且滿足

(partialp)/(partialy)!=(partialq)/(partialx)
(10)

的方程被稱為非恰當的。 如果

((partialp)/(partialy)-(partialq)/(partialx))/q=f(x)
(11)

在 (◇) 中，它具有一個依賴於 x 的積分因子。 如果

((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/(xp-yq)=f(xy)
(12)

在 (◇) 中，它具有一個依賴於 xy 的積分因子。 如果

((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/p=f(y)
(13)

在 (◇) 中，它具有一個依賴於 y 的積分因子。

其他特殊的一階型別包括交叉乘積方程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0,
(14)

齊次方程

y^'=f(y/x),
(15)

線性方程

y^'+p(x)y=q(x),
(16)

和可分離方程

y^'=X(x)Y(y).
(17)

二階常微分方程的特殊類別包括

y^('')=f(y,y^')
(18)

（缺少 x ）和

y^('')=f(x,y^')
(19)

（缺少 y ）。 二階線性齊次ODE

y^('')+P(x)y^'+Q(x)y=0
(20)

對於其

(Q^'(x)+2P(x)Q(x))/(2[Q(x)]^(3/2))=[constant]
(21)

可以轉換為具有常係數的方程。

簡諧運動的無阻尼方程為

y^('')+omega_0^2y=0,
(22)

變為

y^('')+betay^'+omega_0^2y=0
(23)

當阻尼時，以及

y^('')+betay^'+omega_0^2y=Acos(omegat+delta)
(24)

當同時存在強迫和阻尼時。

具有常係數的系統的形式為

(dx)/(dt)=Ax(t)+p(t).
(25)

以下是數學物理問題中常見的重要的常微分方程示例。

阿貝爾微分方程

y^'=f_0(x)+f_1(x)y+f_2(x)y^2+f_3(x)y^3+...
(26)
[g_0(x)+g_1(x)y]y^'=f_0(x)+f_1(x)y+f_2(x)y^2+f_3(x)y^3.
(27)

艾裡微分方程

y^('')-xy=0.
(28)

安格爾微分方程

y^('')+(y^')/x+(1-(nu^2)/(x^2))y=(x-nu)/(pix^2)sin(nupi).
(29)

貝爾微分方程

(x-a_1)(x-a_2)y^('')+1/2[2x-(a_1+a_2)]y^'-(p^2x+q^2)y=0,
(30)
(x-a_1)(x-a_2)y^('')+1/2[2x-(a_1+a_2)]y^'-(k^2x^2-p^2x+q^2)y=0.
(31)

伯努利微分方程

y^'+p(x)y=q(x)y^n.
(32)

貝塞爾微分方程

x^2y^('')+xy^'+(lambda^2x^2-n^2)y=0.
(33)

二項微分方程

(y^')^m=f(x,y).
(34)

伯cher方程

y^('')+1/2[(m_1)/(x-a_1)+...+(m_(n-1))/(x-a_(n-1))]y^' +1/4[(A_0+A_1x+...+A_lx^l)/((x-a_1)^(m_1)(x-a_2)^(m_2)...(x-a_(n-1))^(m_(n-1)))]y=0.
(35)

布里奧-布克方程

x^my^'=f(x,y).
(36)

切比雪夫微分方程

(1-x^2)y^('')-xy^'+alpha^2y=0.
(37)

克萊羅微分方程

y=xy^'+f(y^').
(38)

合流超幾何微分方程

xy^('')+(c-x)y^'-ay=0.
(39)

達朗貝爾方程

y=xf(y^')+g(y^').
(40)

杜芬微分方程

y^('')+omega_0^2y+betay^3=0.
(41)

埃卡特微分方程

y^('')+[(alphaeta)/(1+eta)+(betaeta)/((1+eta)^2)+gamma]y=0,
(42)

其中 eta=e^(deltax)。

埃姆登-福勒微分方程

(x^py^')^'+/-x^sigmay^n=0.
(43)

尤拉微分方程

x^2y^('')+axy^'+by=S(x).
(44)

哈爾姆微分方程

(1+x^2)^2+y^('')+lambday=0.
(45)

埃爾米特微分方程

y^('')-2xy^'+lambday=0.
(46)

海恩微分方程

w^('')+(gamma/x+delta/(x-1)+epsilon/(x-a))w^'+(alphabetax-q)/(x(x-1)(x-a))w=0,
(47)

其中 w^'=dw/dx。

希爾微分方程

y^('')+[theta_0+2sum_(n=1)^inftytheta_ncos(2nz)]y=0.
(48)

超幾何微分方程

x(x-1)y^('')+[(1+alpha+beta)x-gamma]y^'+alphabetay=0.
(49)

雅可比微分方程

(1-x^2)y^('')+[beta-alpha-(alpha+beta+2)x]y^'+n(n+alpha+beta+1)y=0.
(50)

拉蓋爾微分方程

xy^('')+(1-x)y^'+lambday=0.
(51)

拉梅微分方程

(x^2-b^2)(x^2-c^2)z^('')+x(x^2-b^2+x^2-c^2)z^'-[m(m+1)x^2-(b^2+c^2)p]z=0,
(52)

其中 z^'=dz/dx。

萊恩-埃姆登微分方程

1/(xi^2)d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+theta^n=0.
(53)

勒讓德微分方程

(1-x^2)y^('')-2xy^'+alpha(alpha+1)y=0.
(54)

線性常係數

a_0y^((n))+...+a_(n-1)y^'+a_ny=p(x).
(55)

洛梅爾微分方程

x^2y^('')+xy^'-(x^2+nu^2)y=kx^(mu+1).
(56)

洛納微分方程

y^'=-y(1+kappa(x)y)/(1-kappa(x)y).
(57)

馬爾姆斯滕微分方程

y^('')+r/zy^'=(Az^m+s/(z^2))y.
(58)

馬蒂厄微分方程

V^('')+[a-2qcos(2v)]V=0,
(59)

其中 V^'=dV/dv。

修正貝塞爾微分方程

x^2y^('')+xy^'-(x^2+n^2)y=0.
(60)

修正球貝塞爾微分方程

r^2R^('')+2rR^'-[k^2r^2+n(n+1)]R=0,
(61)

其中 R^'=dR/dr

瑞利微分方程

y^('')-mu(1-1/3y^('2))y^'+y=0.
(62)

裡卡蒂微分方程

w^'=q_0(x)+q_1(x)w+q_2(x)w^2.
(63)

黎曼P-微分方程

u^('')+[(1-alpha-alpha^')/(z-a)+(1-beta-beta^')/(z-b)+(1-gamma-gamma^')/(z-c)]u^' +[(alphaalpha^'(a-b)(a-c))/(z-a)+(betabeta^'(b-c)(b-a))/(z-b)+(gammagamma^'(c-a)(c-b))/(z-c)]u/((z-a)(z-b)(z-c))=0,
(64)

其中 u^'=du/dz。

夏普微分方程

zy^('')+y^'+(z+A)y=0.
(65)

球貝塞爾微分方程

r^2R^('')+2rR^'+[k^2r^2-n(n+1)]R=0,
(66)

其中 R^'=dR/dr。

斯特魯微分方程

z^2y^('')+zy^'+(z^2-nu^2)y=(4(1/2z)^(nu+1))/(sqrt(pi)Gamma(nu+1/2)).
(67)

斯特姆-劉維爾方程

d/(dx)[p(x)y^']+[lambdaw(x)-q(x)]y=0.
(68)

蓋根鮑爾微分方程

(1-x^2)y^('')-(2alpha+1)xy^'+n(n+2alpha)y=0.
(69)

範德波爾方程

y^('')-mu(1-y^2)y^'+y=0.
(70)

韋伯微分方程

y^('')+(n+1/2-1/4z^2)y=0,
(71)

其中 y^'=dy/dz。

惠特克微分方程

u^('')+u^'+(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))u=0,
(72)

其中 u^'=du/dz。

參見

亞當斯方法, 一階常微分方程, 格林函式, 等斜線, 拉普拉斯變換, 主導階分析, 強函式, 偏微分方程, 鬆弛法, 龍格-庫塔方法, 二階常微分方程, 簡諧運動, 待定係數法, 引數變分法 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Boyce, W. E. 和 DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, 1992.Braun, M. Differential Equations and Their Applications, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 1993.Carroll, J. "A Composite Integration Scheme for the Numerical Solution of Systems of Ordinary Differential Equations." J. Comput. Appl. Math. 25, 1-13, 1989.Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1989.Forsyth, A. R. Theory of Differential Equations, 6 vols. New York: Dover, 1959.Forsyth, A. R. A Treatise on Differential Equations. New York: Dover, 1997.Fulford, G.; Forrester, P.; 和 Jones, A. Modelling with Differential and Difference Equations. New York: Cambridge University Press, 1997.Guterman, M. M. 和 Nitecki, Z. H. Differential Equations: A First Course, 3rd ed. Philadelphia, PA: Saunders, 1992.Hull, T. E.; Enright, W. H.; Fellen, B. M.; 和 Sedgwick, A. E. "Comparing Numerical Methods for Ordinary Differential Equations." SIAM J. Numer. Anal. 9, 603-637, 1972.Hull, T. E.; Enright, W. H.; Fellen, B. M.; 和 Sedgwick, A. E. "Erratum to 'Comparing Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.' " SIAM J. Numer. Anal. 11, 681, 1974.Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "Numerical Solution of Differential Equations." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 290-301, 1988.Kamke, E. Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen, Bd. 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 9. Aufl. Stuttgart, Germany: Teubner, 1983.Milne, W. E. Numerical Solution of Differential Equations. New York: Dover, 1970.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. "Ordinary Differential Equations." Ch. 5 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 492-675, 1953.Moulton, F. R. Differential Equations. New York: Dover, 1958.Polyanin, A. D. 和 Zaitsev, V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.Postel, F. 和 Zimmermann, P. "A Review of the ODE Solvers of Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPad, and Reduce." Submitted to The 5th Rhine Workshop on Computer Algebra. July 26, 1996. http://www.loria.fr/~zimmerma/ComputerAlgebra/ode_comp.ps.gz.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "Integration of Ordinary Differential Equations." Ch. 16 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 701-744, 1992.Simmons, G. F. Differential Equations, with Applications and Historical Notes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1991.Weisstein, E. W. "Books about Ordinary Differential Equations." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/OrdinaryDifferentialEquations.html.Zaitsev, V. F. 和 Polyanin, A. D. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam. Moscow: Fizmatlit, 2001.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, 1997.

在 上被引用

常微分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. “常微分方程”。 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/OrdinaryDifferentialEquation.html

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