拉蓋爾微分方程由下式給出
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(1)
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方程 (1) 是更一般的關聯拉蓋爾微分方程的一個特例，其定義為
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(2)
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其中 
和 
是實數 (Iyanaga and Kawada 1980, p. 1481; Zwillinger 1997, p. 124)，且 
。
關聯方程 (2) 的通解是
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(3)
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其中 
是第一類合流超幾何函式，而 
是廣義拉蓋爾多項式。
請注意，在特殊情況 
下，關聯拉蓋爾微分方程的形式為如下形式
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(4)
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因此可以使用積分因子找到解
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(5)
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(6)
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 |  | ![exp[(nu+1)lnx-x]](/images/equations/LaguerreDifferentialEquation/Inline15.svg) |
(7)
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(8)
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如下
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(9)
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(10)
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(11)
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其中 
是 En-函式。
關聯拉蓋爾微分方程在 0 處有一個正則奇點，在 
處有一個非正則奇點。它可以使用級數展開求解，
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(12)
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(13)
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(14)
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![[(nu+1)a_1+lambdaa_0]+sum_(n=1)^(infty){[(n+1)n+(nu+1)(n+1)]a_(n+1)-na_n+lambdaa_n}x^n=0](/images/equations/LaguerreDifferentialEquation/Inline33.svg) |
(15)
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![[(nu+1)a_1+lambdaa_0]+sum_(n=1)^(infty)[(n+1)(n+nu+1)a_(n+1)+(lambda-n)a_n]x^n=0.](/images/equations/LaguerreDifferentialEquation/Inline34.svg) |
(16)
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這要求
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(17)
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(18)
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對於 
。 因此，
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(19)
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對於 
, 2, ...，因此
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(20)
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(21)
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 |  | ![a_0[1-lambda/(nu+1)x-(lambda(1-lambda))/(2(nu+1)(nu+2))x^2-(lambda(1-lambda)(2-lambda))/(2·3(nu+1)(nu+2)(nu+3))x^3+...].](/images/equations/LaguerreDifferentialEquation/Inline51.svg) |
(22)
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如果 
是一個非負整數，則級數終止，解由下式給出
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(23)
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其中 
是關聯拉蓋爾多項式，而 
是Pochhammer 符號。在特殊情況 
下，關聯拉蓋爾多項式退化為通常的拉蓋爾多項式，解退化為
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(24)
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