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伴隨拉蓋爾多項式

伴隨 拉蓋爾微分方程 的解，當 nu!=0 且 k 為整數時，稱為伴隨拉蓋爾多項式 L_n^k(x) (Arfken 1985, p. 726) ，或在較早的文獻中，稱為索寧多項式 (Sonine 1880, p. 41; Whittaker and Watson 1990, p. 352)。伴隨拉蓋爾多項式在 Wolfram 語言 中以如下形式實現LaguerreL[n, k, x]。用非伴隨 拉蓋爾多項式 表示，

L_n(x)=L_n^0(x).
(1)

伴隨拉蓋爾多項式的 羅德里格斯表示 為

L_n^k(x)=(e^xx^(-k))/(n!)(d^n)/(dx^n)(e^(-x)x^(n+k))
(2)
=(-1)^k(d^k)/(dx^k)[L_(n+k)(x)]
(3)
=((-1)^nx^(-(k+1)/2))/(n!)e^(x/2)W_(k/2+n+1/2,k/2)(x)
(4)
=sum_(m=0)^(n)(-1)^m((n+k)!)/((n-m)!(k+m)!m!)x^m,
(5)

其中 W_(k,m)(x) 是 惠特克函式。

伴隨拉蓋爾多項式是 謝弗序列，具有

g(t)=(1-t)^(-k-1)
(6)
f(t)=t/(t-1),
(7)

給出 生成函式

g(x,z)=(exp(-(xz)/(1-z)))/((1-z)^(k+1))
(8)
=1+(k+1-x)z1/2[x^2-2(k+2)x+(k+1)(k+2)]z^2+....
(9)

其中分母中通常的因子 n! 已被省略 (Roman 1984, p. 31)。伴隨拉蓋爾多項式的許多有趣的性質都源於 f^(-1)(t)=f(t) 這一事實 (Roman 1984, p. 31)。

伴隨拉蓋爾多項式由以下公式顯式給出

L_n^k(x)=1/(n!)sum_(i=0)^n(n!)/(i!)(k+n; n-i)(-x)^i,
(10)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數，並具有謝弗恆等式

n!L_n^k(x+y)=sum_(i=0)^n(n; i)i!L_i^k(x)(n-i)!L_(n-i)^(-1)(y)
(11)

(Roman 1984, p. 31)。

伴隨拉蓋爾多項式在 [0,infty) 上關於 權重函式 x^ke^(-x) 正交，

int_0^inftye^(-x)x^kL_n^k(x)L_m^k(x)dx=((n+k)!)/(n!)delta_(mn),
(12)

其中 delta_(mn) 是 克羅內克 delta。它們也滿足

int_0^inftye^(-x)x^(k+1)[L_n^k(x)]^2dx=((n+k)!)/(n!)(2n+k+1).
(13)

遞推關係 包括

sum_(nu=0)^nL_nu^k(x)=L_n^(k+1)(x)
(14)

和

L_n^k(x)=L_n^(k+1)(x)-L_(n-1)^(k+1)(x).
(15)

導數 由下式給出

d/(dx)L_n^k(x)=-L_(n-1)^((k+1))(x)
(16)
=x^(-1)[nL_n^k(x)-(n+k)L_(n-1)^k(x)].
(17)

一個有趣的恆等式是

sum_(n=0)^infty(L_n^k(x))/(Gamma(n+k+1))w^n=e^w(xw)^(-k/2)J_k(2sqrt(xw)),
(18)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，J_k(z) 是 第一類貝塞爾函式 (Szegö 1975, p. 102)。積分表示為

e^(-x)x^(k/2)L_n^k(x)=1/(n!)int_0^inftye^(-t)t^(n+k/2)J_k(2sqrt(tx))dt
(19)

對於 n=0, 1, ... 以及 k>-1。 多項式判別式 為

D_n^k=product_(nu=1)^nnu^(nu-2n+2)(nu+k)^(nu-1)
(20)

(Szegö 1975, p. 143)。 核多項式 為

K_n^k(x,y)=(n+1)/(Gamma(k+1))(n+k; n)^(-1)(L_n^k(x)L_(n+1)^k(y)-L_(n+1)^k(x)L_n(k)(y))/(x-y),
(21)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數 (Szegö 1975, p. 101)。

前幾個伴隨拉蓋爾多項式為

L_0^k(x)=1
(22)
L_1^k(x)=-x+k+1
(23)
L_2^k(x)=1/2[x^2-2(k+2)x+(k+1)(k+2)]
(24)
L_3^k(x)=1/6[-x^3+3(k+3)x^2-3(k+2)(k+3)x+(k+1)(k+2)(k+3)].
(25)

將伴隨拉蓋爾多項式推廣到 k 不一定是整數的情況，稱為拉蓋爾函式 (Arfken 1985, p. 726) 或廣義拉蓋爾函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 775)。這些廣義拉蓋爾多項式可以定義為

L_n^alpha(x)=((alpha+1)_n)/(n!)_1F_1(-n;alpha+1;x),
(26)

其中 (a)_n 是 波赫哈默爾符號，_1F_1(a;b;x) 是 第一類合流超幾何函式 (Koekoek and Swarttouw 1998)。它們在 Wolfram 語言 中以如下形式實現LaguerreL[n, alpha, x]。

另請參閱

第一類合流超幾何函式, 拉蓋爾多項式, 惠特克函式

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Polynomials/LaguerreL3/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. "拉蓋爾多項式。" §6.2 in Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 282-293, 1999.Arfken, G. "拉蓋爾函式。" §13.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 721-731, 1985.Chebyshev, P. L. "論單變數函式展開。" Bull. Ph.-Math., Acad. Imp. Sc. St. Pétersbourg 1, 193-200, 1859.Chebyshev, P. L. Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 499-508, 1987.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). "Laguerre Functions." Appendix A, Table 20.VI in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1481, 1980.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "拉蓋爾。" §1.11 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 47-49, 1998.Laguerre, E. de. "關於積分 int_x^(+infty)x^(-1)e^(-x)dx。" Bull. Soc. math. France 7, 72-81, 1879. Reprinted in Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 428-437, 1971.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 61-62, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Roman, S. "拉蓋爾多項式。" §3.1 i The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 108-113, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "拉蓋爾多項式。" §11 in "組合理論基礎。VIII：有限運算元微積分。" J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sansone, G. "拉蓋爾級數和埃爾米特級數展開式。" Ch. 4 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 295-385, 1991.Sloane, N. J. A. Sequences A000142/M1675 and A021009 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sonine, N. J. "關於柱函式和連續函式的級數展開。" Math. Ann. 16, 1-80, 1880.Spanier, J. and Oldham, K. B. "拉蓋爾多項式 L_n(x)。" Ch. 23 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 209-216, 1987.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. Ch. 16, Ex. 8 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 352, 1990.

在 中被引用

伴隨拉蓋爾多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. “伴隨拉蓋爾多項式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AssociatedLaguerrePolynomial.html

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