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Whittaker 函式

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Whittaker 函式作為 Whittaker 微分方程的解而出現。這個方程的線性獨立解是

M_(k,m)(z)=z^(m+1/2)e^(-z/2)sum_(n=0)^(infty)((m-k+1/2)_n)/(n!(2m+1)_n)z^n
(1)
=z^(1/2+m)e^(-z/2)[1+(1/2+m-k)/(1!(2m+1))z+((1/2+m-k)(3/2+m-k))/(2!(2m+1)(2m+2))z^2+...]
(2)

和 M_(k,-m)(z)，其中是第二類合流超幾何函式，而 (z)_n 是 Pochhammer 符號。用第一類和第二類合流超幾何函式表示，這些解是

M_(k,m)(z)=e^(-z/2)z^(m+1/2)_1F_1(1/2+m-k,1+2m;z)
(3)
W_(k,m)(z)=e^(-z/2)z^(m+1/2)U(1/2+m-k,1+2m;z)
(4)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 505; Whittaker 和 Watson 1990, pp. 339-351)。

這些函式在 Wolfram 語言中實現為WhittakerM[k, m, z] 和WhittakerW[k, m, z]，分別地。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 340) 定義

W_(k,m)(z)=(e^(-z/2)z^k)/(Gamma(1/2-k+m))×int_0^inftyt^(-k-1/2+m)(1+t/z)^(k-1/2+m)e^(-t)dt
(5)

當 R[k-1/2-m]<=0 且 k-1/2-m 不是整數時。

一個特殊情況由下式給出

erfc(x)=(e^(-x^2/2))/(sqrt(pix))W_(-1/4,1/4)(x^2)
(6)

對於 x>0 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 341, 調整了 erfc(z) 的歸一化以符合現代約定)。

Whittaker 函式透過下式與拋物柱面函式相關

D_n(z)=1/(sqrt(z))2^(n/2+1/4)W_(n/2+1/4,-1/4)(1/2z^2).
(7)

當 |argz|<3pi/2 且 2m 不是整數時，

W_(k,m)(z)=(Gamma(-2m))/(Gamma(1/2-m-k))M_(k,m)(z)+(Gamma(2m))/(Gamma(1/2+m-k))M_(k,-m)(z).
(8)

當 |arg(-z)|<3pi/2 且 2m 不是整數時，

W_(-k,m)(-z)=(Gamma(-2m))/(Gamma(1/2-m-k))M_(-k,m)(-z)+(Gamma(2m))/(Gamma(1/2+m+k))M_(-k,-m)(-z).
(9)

Whittaker 函式滿足遞推關係

W_(k,m)(z)=z^(1/2)W_(k-1/2,m-1/2)(z)+(1/2-k+m)W_(k-1,m)(z)
(10)
W_(k,m)(z)=z^(1/2)W_(k-1/2,m+1/2)(z)+(1/2-k-m)W_(k-1,m)(z)
(11)
zW_(k,m)^'(z)=(k-1/2z)W_(k,m)(z)-[m^2-(k-1/2)^2]W_(k-1,m)(z).
(12)

另請參閱

締合拉蓋爾多項式, 第二類合流超幾何函式, Cunningham 函式, 庫默爾公式, Schlömilch 函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "合流超幾何函式." 第 13 章，數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 503-515, 1972.Becker, P. A. "關於 Whittaker 函式乘積對第二指標的積分." J. Math. Phys. 45, 761-773, 2004.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (編). "Whittaker 函式." 附錄 A，表 19.II，數學百科辭典。 劍橋，馬薩諸塞州: MIT Press, pp. 1469-1471, 1980.Meijer, C. S. "關於 Whittaker 函式 W_(k,m)(z) 以及 Hankel 和 Bessel 函式的積分表示." Nieuw Arch. Wisk. 18, 35-57, 1936.Whittaker, E. T. "作為廣義超幾何函式的某些已知函式的表示式." Bull. Amer. Math. Soc. 10, 125-134, 1904.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 英國劍橋: Cambridge University Press, 1990.

在 上被引用

Whittaker 函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Whittaker 函式." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/WhittakerFunction.html

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