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拋物柱面函式

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拋物柱面函式是一類有時被稱為韋伯函式的函式。不同作者對其定義略有不同。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 347) 將拋物柱面函式 D_nu(z) 定義為 韋伯微分方程 的解

y^('')(z)+(nu+1/2-1/4z^2)y(z)=0.
(1)

兩個獨立的解由 y=D_nu(z) 和 y=D_(-nu-1)(iz) 給出，其中

D_nu(z)=2^(nu/2+1/4)z^(-1/2)W_(nu/2+1/4,-1/4)(1/2z^2)
(2)
=(2^(nu/2)e^(-z^2/4)(-iz)^(1/4)(iz)^(1/4))/(sqrt(z))U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),
(3)

在 右半平面 R[z]>0 中，這等價於

D_nu(z)=2^(nu/2)e^(-z^2/4)U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),
(4)

其中 W_(k,m)(z) 是 惠特克函式 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 347; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 1018)，U(a,b,z) 是 第一類合流超幾何函式。

此函式在 Wolfram 語言 中實現為ParabolicCylinderD[nu, z].

ParabolicCylinderD

對於 nu 為 非負整數 n，解 D_n 簡化為

D_n(x)=2^(-n/2)e^(-x^2/4)H_n(x/(sqrt(2)))
(5)
=e^(-x^2/4)He_n(x),
(6)

其中 H_n(x) 是 埃爾米特多項式，He_n 是修正的 埃爾米特多項式。特殊情況包括

D_(-1)(z)=e^(z^2/4)sqrt(pi/2)erfc(z/(sqrt(2)))
(7)
D_(-1/2)(z)=sqrt(z/(2pi))K_(1/4)(1/4z^2)
(8)

對於 R[z]>0，其中 K_nu(z) 是 第二類修正貝塞爾函式。

ParabolicCylinderDReIm
ParabolicCylinderDContours

函式 D_1(z) 在複平面上的圖示如上所示。

拋物柱面函式 D_nu 滿足 遞推關係

D_(nu+1)(z)-zD_nu(z)+nuD_(nu-1)(z)=0
(9)
D_nu^'(z)+1/2zD_nu(z)-nuD_(nu-1)(z)=0.
(10)

對於整數 n，拋物柱面函式可以用積分定義為

D_n(z)=1/piint_0^pisin(ntheta-zsintheta)dtheta
(11)

(Watson 1966, p. 308)，這類似於 安格函式。結果

int_(-infty)^inftyD_m(x)D_n(x)dx=delta_(mn)n!sqrt(2pi),
(12)

其中 delta_(ij) 是 克羅內克 delta，也可用於確定展開式中的 係數

f(z)=sum_(n=0)^inftya_nD_n
(13)

為

a_n=1/(n!sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyD_n(t)f(t)dt.
(14)

對於實數 nu，

int_0^infty[D_nu(t)]^2dt=pi^(1/2)2^(-3/2)(phi_0(1/2-1/2nu)-phi_0(-1/2nu))/(Gamma(-nu))
(15)

(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 885, 7.711.3)，其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，phi_0(z) 是 0 階 多伽瑪函式。

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 686) 將拋物柱面函式定義為以下方程的解

y^('')+(ax^2+bx+c)y=0,
(16)

有時稱為 拋物柱面微分方程 (Zwillinger 1995, p. 414; Zwillinger 1997, p. 126)。這可以透過 配方法 重寫為

y^('')+[a(x+b/(2a))^2-(b^2)/(4a)+c]y=0.
(17)

現在令

u=x+b/(2a)
(18)
du=dx
(19)

得到

(d^2y)/(du^2)+(au^2+d)y=0
(20)

其中

d=(b^2)/(4a)+c.
(21)

方程 (◇) 有兩種標準形式

y^('')-(1/4x^2+a)y=0
(22)
y^('')+(1/4x^2-a)y=0.
(23)

對於一般的 a，方程 (◇) 的 偶 解和 奇 解為

y_1(x)=e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)
(24)
y_2(x)=xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2),
(25)

其中 _1F_1(a;b;z) 是 第一類合流超幾何函式。如果 y(a,x) 是方程 (22) 的解，則方程 (23) 的解為

y(+/-ia,xe^(∓ipi/4)),y(+/-ia,-xe^(∓ipi/4)).
(26)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 687) 將方程 (◇) 的標準解定義為

U(a,x)=cos[pi(1/4+1/2a)]Y_1-sin[pi(1/4+1/2a)]Y_2
(27)
V(a,x)=(sin[pi(1/4+1/2a)]Y_1+cos[pi(1/4+1/2a)]Y_2)/(Gamma(1/2-a)),
(28)
Y_1=1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))y_1
(29)
=1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)
(30)
Y_2=1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))y_2
(31)
=1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2).
(32)

用 Whittaker 和 Watson 的函式表示為，

U(a,x)=D_(-a-1/2)(x)
(33)
V(a,x)=(Gamma(1/2+a)[sin(pia)D_(-a-1/2)(x)+D_(-a-1/2)(-x)])/pi.
(34)

另請參閱

安格函式, 貝塞爾函式, 達爾文展開, Hh 函式, 拋物柱面座標系, 拋物柱面微分方程, 斯特魯夫函式, 惠特克函式

在 中探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "拋物柱面函式." 第 19 章，在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 685-700, 1972.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "拋物柱面函式" 和 "拋物柱面函式 D_p(z)" §7.7 和 9.24-9.25，在 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 加利福尼亞州聖地亞哥: Academic Press, pp. 835-842, 1018-1021, 2000.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (編). "拋物柱面函式 (韋伯函式)." 附錄 A，表 20.III，在 數學百科詞典。 馬薩諸塞州劍橋: MIT Press, p. 1479, 1980.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "拋物柱面函式、埃爾米特函式和 Hh 函式" 等。§23.08-23.081，在 數學物理方法，第 3 版。 英國劍橋: Cambridge University Press, pp. 620-627, 1988.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "拋物柱面函式 D_nu(x)." 第 46 章，在 函式圖集。 華盛頓特區: Hemisphere, pp. 445-457, 1987.Watson, G. N. 貝塞爾函數理論專著，第 2 版。 英國劍橋: Cambridge University Press, 1966.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "拋物柱面函式." §16.5，在 現代分析教程，第 4 版。 英國劍橋: Cambridge University Press, pp. 347-348, 1990.Zwillinger, D. (編). CRC 標準數學表格和公式手冊。 佛羅里達州博卡拉頓: CRC Press, p. 414, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 馬薩諸塞州波士頓: Academic Press, p. 126, 1997.

在 上被引用

拋物柱面函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "拋物柱面函式." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ParabolicCylinderFunction.html

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