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修正的第二類貝塞爾函式

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BesselK

修正的第二類貝塞爾函式是函式 K_n(x)，它是修正的貝塞爾微分方程的解之一。修正的第二類貝塞爾函式有時被稱為巴塞特函式、第三類修正貝塞爾函式（Spanier 和 Oldham 1987, p. 499）或麥克唐納函式（Spanier 和 Oldham 1987, p. 499; Samko et al. 1993, p. 20）。修正的第二類貝塞爾函式在 Wolfram 語言 中實現為BesselK[nu, z].

K_n(x) 與修正的第一類貝塞爾函式 I_n(x) 和 漢克爾函式 H_n(x) 密切相關，

K_n(x)=1/2pii^(n+1)H_n^((1))(ix)
(1)
=1/2pii^(n+1)[J_n(ix)+iN_n(ix)]
(2)
=pi/2(I_(-n)(x)-I_n(x))/(sin(npi))
(3)

（Watson 1966, p. 185）。 K_n(x) 的求和公式為

K_n(z)=1/2(1/2z)^(-n)sum_(k=0)^(n-1)((n-k-1)!)/(k!)(-1/4z^2)^k+(-1)^(n+1)ln(1/2z)I_n(z)+(-1)^n1/2(1/2z)^nsum_(k=0)^infty[psi(k+1)+psi(n+k+1)]((1/4z^2)^k)/(k!(n+k)!),
(4)

其中 psi 是雙伽瑪函式（Abramowitz 和 Stegun 1972）。積分公式為

K_nu(z)=(Gamma(nu+1/2)(2z)^nu)/(sqrt(pi))int_0^infty(costdt)/((t^2+z^2)^(nu+1/2))
(5)

對於 nu=0，簡化為

K_0(x)=int_0^inftycos(xsinht)dt=int_0^infty(cos(xt)dt)/(sqrt(t^2+1)).
(6)

其他恆等式為

K_n(z)=(sqrt(pi))/((n-1/2)!)(1/2z)^nint_1^inftye^(-zx)(x^2-1)^(n-1/2)dx
(7)

對於 n>-1/2 和

K_n(z)=sqrt(pi/(2z))(e^(-z))/((n-1/2)!)int_0^inftye^(-t)t^(n-1/2)(1-t/(2z))^(n-1/2)dt
(8)
=sqrt(pi/(2z))(e^(-z))/((n-1/2)!)sum_(r=0)^(infty)((n-1/2)!)/(r!(n-r-1/2)!)(2z)^(-r)int_0^inftye^(-t)t^(n+r-1/2)dt.
(9)
BesselK0ReIm
BesselK0Contours

當 n=0 的特殊情況時，K_0(z) 的積分形式為

K_0(z)=int_0^inftycos(zsinht)dt
(10)
=int_0^infty(cos(zt))/(sqrt(t^2+1))dt
(11)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 376）。

另請參閱

第二類貝塞爾函式, 連分數常數, 修正的第一類貝塞爾函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "修正的貝塞爾函式 I 和 K." §9.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 374-377, 1972.Arfken, G. "修正的貝塞爾函式, I_nu(x) 和 K_nu(x)." §11.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 610-616, 1985.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "整數階修正的貝塞爾函式" 和 "分數階貝塞爾函式、艾裡函式、球貝塞爾函式." §6.6 和 6.7 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 229-245, 1992.Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach, p. 20, 1993.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "巴塞特 K_nu(x)." Ch. 51 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 499-507, 1987.Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 上被引用

修正的第二類貝塞爾函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "修正的第二類貝塞爾函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

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