連分數常數

許多閉式常數可以透過具有特別簡單的廣義連分數的部分分子和分母獲得。

拉馬努金連分數提供了一類引人入勝的連分數常數。Trott 常數是意想不到的常數，其部分分子和分母對應於它們的十進位制數字（儘管為了實現這一點，有必要允許一些部分分子等於 0）。

一系列其他著名的連分數常數中的第一個是無限正則連分數

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常數的前幾個收斂項 為 0, 1, 2/3, 7/10, 30/43, 157/225, 972/1393, 6961/9976, ... (OEIS A001053 和 A001040)。

分子 和 分母 都滿足遞推關係

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其中 具有初始條件 , 且 具有初始條件 , 。這些可以精確求解得到

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其中 是第一類修正貝塞爾函式， 是第二類修正貝塞爾函式。因此，當 時，無限連分數由下式給出

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(OEIS A052119; Lehmer 1973, Rabinowitz 1990; Borwein et al. 2004, p. 35)。

由廣義連分數定義的Related constant

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具有 th 收斂項由下式給出

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其中 是伽瑪函式， 是次階乘。因此，前幾個收斂項 為 1, 1/2, 3/5, 11/19, 53/91, 103/177, ... (OEIS A053557 和 A103816)。當 時，這給出了值

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(OEIS A073333)。

另一個可以閉式計算的類似連分數常數是

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(OEIS A111129)，其中 erfc 是互補誤差函式。收斂項的閉式形式未知，但對於 , 2, ..., 前幾個收斂項為 1, 1/3, 2/3, 4/9, 7/12, 19/39, 68/123, ... (OEIS A225435 和 A225436)。

另一個閉式連分數由下式給出

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(OEIS A113011)。前幾個收斂項為 5/3, 29/19, 233/151, 2329/1511, 27949/18131, 78257/50767, ... (OEIS A113012 和 A113013)。

具有成等差數列的部分商的一般無限連分數 由下式給出

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(Schroeppel 1972) 對於實數 和 。

Perron (1954-57) 討論了具有比等差數列更一般的項的連分數，並將它們與各種特殊函式聯絡起來。但是，他似乎沒有具體考慮方程 (24)。