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拉馬努金連分數

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拉馬努金髮展了許多有趣的 閉合形式 表示式，用於 廣義連分數。 這些包括 幾乎是整數 的表示式

1/(1+)(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+...)=(sqrt((5+sqrt(5))/2)-(sqrt(5)+1)/2)e^(2pi/5)
(1)
=e^(2pi/5)(sqrt(phisqrt(5))-phi)
(2)
=0.9981360...
(3)

(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), 其中 phi 是 黃金比例，其乘法逆元

1+(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+)(e^(-6pi))/(1+...)=1/2[1+sqrt(5)+sqrt(2(5+sqrt(5)))]e^(-2pi/5)
(4)
=(e^(-2pi/5))/(sqrt(phisqrt(5))-phi)
(5)
=1.0018674...
(6)

(OEIS A091899; Ramanathan 1984), 以及

1/(1+)(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...)={(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))
(7)
=0.99999920...
(8)

(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) 及其乘法逆元

1+(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...)=(e^(-2pi/5))/((sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)]^(1/5))-phi)
(9)
=1.000000791267...
(10)

(OEIS A091900).

其他例子包括積分

4int_0^infty(xe^(-xsqrt(5)))/(coshx)dx=1/2[zeta(2,1/4(1+sqrt(5)))-zeta(2,1/4(3+sqrt(5))]
(11)
=1/2[psi_1(1/4(1+sqrt(5)))-psi_1(1/4(3+sqrt(5)))]
(12)
=1/(1+)(1^2)/(1+)(1^2)/(1+)(2^2)/(1+)(2^2)/(1+)(3^2)/(1+)(3^2)/(1+)...
(13)
=0.5683000...
(14)

(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), 其中 zeta(a,z) 是 赫爾維茨 zeta 函式，而 psi_1(z) 是 三伽瑪函式，以及

2int_0^infty(x^2e^(-xsqrt(3)))/(sinhx)dx=-1/2psi_2(1/2(1+sqrt(3)))
(15)
=1/(1+)(1^3)/(1+)(1^3)/(3+)(2^3)/(1+)(2^3)/(5+)(3^3)/(1+)(3^3)/(7+)...
(16)
=0.5269391...
(17)

(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), 其中 psi_2(z) 是 多伽瑪函式。

參見

連分數常數, 廣義連分數, 羅傑斯-拉馬努金連分數

使用 探索

參考文獻

Berndt, B. C. and Rankin, R. A. 拉馬努金：書信與評論。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生活和工作主題的十二講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Perron, O. "關於普里策舍恩鏈式分數。" Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.Preece, C. T. "拉馬努金陳述的定理 (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.Ramanathan, K. G. "關於拉馬努金的連分數." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.Sloane, N. J. A. 序列 A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, 和 A091900 在 "整數序列線上百科全書" 中。Watson, G. N. "拉馬努金陳述的定理 (VII): 關於連分數的定理." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.Watson, G. N. "拉馬努金陳述的定理 (IX): 兩個連分數." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.

在 中被引用

拉馬努金連分數

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "拉馬努金連分數。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/RamanujanContinuedFractions.html

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