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Rogers-Ramanujan 連分數

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RogersRamanujanR

Rogers-Ramanujan 連分數是由下式定義的廣義連分數

R(q)=(q^(1/5))/(1+q/(1+(q^2)/(1+(q^3)/(1+...))))
(1)

（Rogers 1894，Ramanujan 1957，Berndt et al. 1996，1999，2000）。它由 Rogers (1894) 發現，Ramanujan 在 1913 年左右獨立發現，Schur 在 1917 年再次獨立發現。考慮到為方便起見新增的因子 q^(1/5)，它提供了黃金比例的幾何級數 q-模擬

phi=1+1/(1+1/(1+1/(1+...))).
(2)

q^(-1/5)R(q)的收斂項 A_n(q)/B_n(q) 由下式給出

A_0(q)=1
(3)
A_1(q)=1
(4)
A_n(q)=A_(n-1)(q)+q^nA_(n-2)(q)
(5)
B_(-1)(q)=1
(6)
B_0(q)=1
(7)
B_n(q)=B_(n-1)(q)+q^nB_(n-2)(q)
(8)

（OEIS A128915 和 A127836；Sills 2003，第 25 頁，恆等式 3-14）。

該分數可以用q-級數的閉合形式表示為

R(q)=q^(1/5)((q;q^5)_infty(q^4;q^5)_infty)/((q^2;q^5)_infty(q^3;q^5)_infty)
(9)
=q^(1/5)product_(k=0)^(infty)((1-q^(5k+1))(1-q^(5k+4)))/((1-q^(5k+2))(1-q^(5k+3)))
(10)
=q^(1/5)product_(k=1)^(infty)((1-q^(5k-1))(1-q^(5k-4)))/((1-q^(5k-2))(1-q^(5k-3))),
(11)

以及用拉馬努金 theta 函式表示為

f(a,b)=sum_(n=-infty)^inftya^(n(n+1)/2)b^(n(n-1)/2)
(12)

透過

R(q)=q^(1/5)(f(-q,-q^4))/(f(-q^2,-q^3)).
(13)

在上半平面和模分支切割的情況下，它也可以用戴德金 eta 函式 eta(tau) 精確表示為

R(q)=1/2(sqrt(x^2+2x+5)-x-1),
(14)

其中

x=(eta(-(ilnq)/(10pi)))/(eta(-(iln(q^5))/(2pi)))
(15)

（Trott 2004）。

對於 n=0, 1, 2, ...，R(q)/q^(1/5) 的麥克勞林級數中 q^n 的係數為 1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 1, 0, -1, 2, -3, ... (OEIS A007325)。

RogersRamanujanRReIm100
RogersRamanujanRReIm101
RogersRamanujanRContours100
RogersRamanujanRContours101

對於複平面中充分遠離單位圓的點，該分數快速收斂。對於值 |q|<1，該級數收斂到唯一值，而對於 |q|>1，它收斂到兩個可能的值。連分數 R_n(q) 的第 n 個收斂項的值可以用單位圓盤內的唯一值表示為

R_n(q)={q^(1/5)(-q^(-1))^(-1/5)[R_n(-q^(-1))]^(-1) for n even; q^(-4/5)(q^(-4))^(-1/5)R(q^(-4)) for n odd
(16)

（Andrews et al. 1992，Trott 2004）。

令人驚訝的是，Ramanujan 表明，對於所有正有理數 r，R(e^(-pisqrt(n))) 是一個代數數。特殊情況包括

R(1)=phi-1
(17)
R(e^(-pi))=r_1
(18)
R(e^(-2pi))=-phi+sqrt(1/2(5+sqrt(5))),
(19)

其中 r_1 是 x^8+14x^7+22x^6+22x^5+30x^4-22x^3+22x^2-14x+1 靠近 0.51142.... 的根。r_1 可以寫成

r_1=1/8(3+sqrt(5))(RadicalBox[5, 4]-1)(sqrt(10+2sqrt(5))-(3+RadicalBox[5, 4])(RadicalBox[5, 4]-1))
(20)

（Yi 2001，Trott 2004）。Trott 計算了所有 n>=10 的 r_n 值，r_1, r_2, ... 的代數次數為 8, 4, 32, 8, 40, 16, 64, 16, 96, 20, ... (OEIS A082682；Trott 2004)。

R(q) 滿足以下驚人的等式

1/(R(q))-1-R(q)=((q^(1/5))_infty)/(q^(1/5)(q^5)_infty)
(21)
1/([R(q)]^5)-11-[R(q)]^5=((q)_infty^6)/(q(q^5)_infty^6),
(22)

其中 (q)_infty=(q;q)_infty 是一個q-珀奇哈默爾符號。它也滿足

sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^n(10n+3)q^((5n+3)n/2)=[3/([R(q)]^2)+[R(q)]^3]q^(2/5)(q^5)_infty^3
(23)
sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^n(10n+1)q^((5n+1)n/2)=[1/([R(q)]^3)-3[R(q)]^2]q^(3/5)(q^5)_infty^3
(24)

（Watson 1929ab；Berndt 1991，第 265-267 頁；Berndt et al. 1996，2000；Son 1998）。

定義

u=R(q)
(25)
u^'=-R(-q)
(26)
v=R(q^2)
(27)
w=R(q^4),
(28)

這些量滿足模方程

uv^2=(v-u^2)/(v+u^2)
(29)
uw=(w^2-u^2v)/(w+v^2)
(30)
vw^2=(w-v^2)/(w+v^2)
(31)
uu^'v^2=(uu^'-v)/(u^'-u)
(32)
u^'w=(u^('2)-w)/(v^2+w)
(33)
-vw=(u^'(v^2-w))/(u^('2)v-w)
(34)
uu^'v=(u^'-u)/(v+uu^')
(35)
vw=(u(v^2-w))/(u^2v-w)
(36)

（Berndt et al. 1996，2000）。Trott (2004) 給出了 2 到 15 階以及素數 17、19 和 23 的模方程。

正如 Hardy (Ramanujan 1962，第 xxvii 和 xxviii 頁)，Berndt 和 Rankin (1995) 以及 Berndt et al. (1996，2000) 討論的那樣，Ramanujan 也定義了廣義連分數

R(a,q)=1/(1+(aq)/(1+(aq^2)/(1+(aq^3)/(1+...)))).
(37)
RogersRamanujanF
RogersRamanujanFReIm
RogersRamanujanFContours

Ramanujan 也考慮了連分數

F(a,q)=1-(aq)/(1-(aq^2)/(1-(aq^3)/(1-...)))
(38)
=(sum_(k=0)^(infty)((-a)^kq^(k^2))/((q)_k))/(sum_(k=0)^(infty)((-a)^kq^(k(k+1)))/((q)_k)).
(39)

（Berndt 1991，第 30 頁；Berndt et al. 1996，2000），其中特殊情況 F(q)=F(1,q) 如上圖所示。

終止於項 aq^n 得到

(sum_(k=0)^(|_(n+1)/2_|)((-a)^kq^(k^2)(q)_(n-k+1))/((q)_k(q)_(n-2k+1)))/(sum_(k=0)^(|_n/2_|)((-a)^kq^(k(k+1))(q)_(n-k))/((q)_k(q)_(n-2k)))=1-(aq)/(1-(aq^2)/(1-(aq^3)/(1-...-(aq^n)/1))),
(40)

（Berndt et al. 1996，2000）。

F(q) 的實根為 0.576149、0.815600、0.882493、0.913806、0.931949、0.943785、0.952125、...，其中最小的一個由 Ramanujan 發現（Berndt et al. ）。F(q) 及其最小正根與噴泉中硬幣的列舉有關（Berndt 1991，Berndt et al. 1996，2000）以及生滅過程的研究（Berndt et al. 1996，2000；Parthasarathy et al. 1998）。一般來說，F(a,q) 的最小正根 q_0(a) 由 a->infty 給出

q_0(a)∼1/a-1/(a^2)+2/(a^3)-6/(a^4)+(21)/(a^5)-(79)/(a^6)+(311)/(a^7)-(1266)/(a^8) +(5289)/(a^9)-(22553)/(a^(10))+(97753)/(a^(11))-...
(41)

（OEIS A050203；Berndt et al. 1996，2000）。Ramanujan 給出了驚人的近似值

q_0^((1))(a)∼2/(a-1+sqrt((a+1)(a+5)))+O(a^(-8))
(42)
q_0^((2))(a)∼1/((a-1+sqrt((a+1)(a+5)))/2+[(a+3-sqrt((a+1)(a+5)))/(a-1+sqrt((a+1)(a+5)))]^3)+O(a^(-11)).
(43)

對於 a=1，這些近似值給出

q_0^((1))(1)=1/3sqrt(3) approx 0.57735
(44)
q_0^((2))(1)=3/(110)(9+7sqrt(3)) approx 0.576119.
(45)

更一般地，對於定義為 q^_=e^(2piitau) 的廣泛類別的 q^_，R(q) 可以用j-函式 j(tau) 和二十面體方程表示為

j(tau)=-((r^(20)-228r^(15)+494r^(10)+228r^5+1)^3)/(r^5(r^(10)+11r^5-1)^5)
(46)

其中 r_i 之一為 r=R(q) (Duke 2004)。例如，R(e^(-2pi)) 具有 tau=sqrt(-1)=i，因此 j(tau)=12^3。將 12^3 代入方程，其因子之一將是一個四次方程，根為 r=R(e^(-2pi))。

此外，分子和分母（帶常數）可以組合成一個完全平方，

(r^(20)-228r^(15)+494r^(10)+228r^5+1)^3+1728r^5(r^(10)+11r^5-1)^5 =(r^(30)+522r^(25)-10005r^(20)-10005r^(10)-522r^5+1)^2,
(47)

實際上它們是二十面體群的多項式不變數。

另請參閱

鮑爾-繆爾變換，噴泉，廣義連分數，黃金比例，q-級數，拉馬努金 Theta 函式，Rogers-Ramanujan 恆等式

本條目部分由 Tito Piezas III 貢獻

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. On the General Rogers-Ramanujan Theorem. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.Andrews, G. E.; Berndt, B. C.; Jacobsen, L.; and Lamphere, R. L. The Continued Fractions Found in the Unorganized Portion of Ramanujan's Notebooks. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York: Springer-Verlag, 1991.Berndt, B. C. "Continued Fractions." Ch. 32 in Ramanujan's Notebooks, Part V. New York: Springer-Verlag, pp. 9-88, 1998.Berndt, B. C. and Chan, H. H. "Some Values for the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." Canad. J. Math. 47, 897-914, 1995.Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1995.Berndt, B. C.; Chan, H. H.; and Zhang, L.-C. "Explicit Evaluations of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." J. reine angew. Math. 480, 141-159, 1996.Berndt, B. C.; Chan, H. H.; Huang, S.-S.; Kang, S.-Y.; Sohn, J.; and Son, S. H. "The Rogers-Ramanujan Continued Fraction." J. Comput. Appl. Math. 105, 9-24, 1999.Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "Some Theorems on the Rogers-Ramanujan Continued Fraction in Ramanujan's Lost Notebook." Trans. Amer. Math. Soc. 352, 2157-2177, 2000.Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions." Bull. Amer. Math. Soc. 42, 137-162, 2005.Joyce, G. S. "Exact Results for the Activity and Isothermal Compressibility of the Hard-Hexagon Model." J. Phys. A: Math. Gen. 21, L983-L988, 1988.Parthasarathy, P. R.; Lenin, R. B.; Schoutens, W.; and van Assche, W. "A Birth and Death Process Related to the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." J. Math. Anal. Appl. 224, 297-315, 1998.Ramanathan, K. G. "On Ramanujan's Continued Fraction." Acta Arith. 43, 209-226, 1984a.Ramanathan, K. G. "On the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 93, 67-77, 1984b.Ramanathan, K. G. "Ramanujan's Continued Fraction." Indian J. Pure Appl. Math. 16, 695-724, 1985.Ramanathan, K. G. "Some Applications of Kronecker's Limit Formula." J. Indian Math. Soc. 52, 71-89, 1987.Ramanujan, S. Notebooks (2 Volumes). Bombay, India: Tata Institute, 1957.Ramanujan, S. Collected Papers. New York: Chelsea, 1962.Rogers, L. J. "Second Memoir on the Expansion of Certain Infinite Products." Proc. London Math. Soc. 25, 318-343, 1894.Rogers, L. J. "On a Type of Modular Equations." Proc. London Math. Soc. 19, 387-397, 1920.Sills, A. V. "Finite Rogers-Ramanujan Type Identities." Electron. J. Combin. 10, No. 13, 2003.Sloane, N. J. A. Sequences A007325/M0415, A050203, A082682, A127836, and A128915 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Son, S. H. "Some Theta Function Identities Related to the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." Proc. Amer. Math. Soc. 126, 2895-2902, 1998.Trott, M. "Modular Equations of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction." Mathematica J. 9,314-333, 2004.Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929a.Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929b.Yi, J. "Evaluations of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction R(q) by Modular Equations." Acta Arith. 97, 103-127, 2001.Yi, J. "Modular Equations for the Rogers-Ramanujan Continued Fraction and the Dedekind Eta-Function." Ramanujan J. 5, 377-384, 2002.

在 中被引用

Rogers-Ramanujan 連分數

請引用為

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. "Rogers-Ramanujan 連分數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Rogers-RamanujanContinuedFraction.html

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