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羅傑斯-拉馬努金恆等式

對於 |q|<1, 羅傑斯-拉馬努金恆等式由下式給出 (Hardy 1999, pp. 13 和 90),

sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((q)_n)=1/(product_(n=1)^(infty)(1-q^(5n-4))(1-q^(5n-1)))
(1)
=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+...
(2)

(OEIS A003114), 以及

sum_(n=0)^(infty)(q^(n(n+1)))/((q)_n)=1/(product_(n=1)^(infty)(1-q^(5n-3))(1-q^(5n-2)))
(3)
=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+...
(4)

(OEIS A003106), 其中 (q)_n 是一個 q-Pochhammer 符號。

(◇) 的多項式推廣由下式給出

sum_(k=1)^infty(q^(k^2))/((q)_k(q)_(n-k))=sum_(k=1)^infty((-1)^kq^((5k^2-k)/2))/((q)_(n-k)(q)_(n+k))
(5)

以及

sum_(k=1)^infty(2q^(k^2))/((q)_k(q)_(n-k))=sum_(k=1)^infty((-1)^k(1+q^k)q^((5k^2-k)/2))/((q)_(n-k)(q)_(n+k))
(6)

(Petkovšek et al. 1996)。 即使它們看起來是無限級數，但每邊只有有限項是非零的，因為當 1/(q)_(n-k)=0 時 k>n. (5) 和 (6) 指定了一個由 n 索引的多項式序列，隨著 n 變得越來越大，多項式越來越接近級數 (◇)。 此外，取極限 n->infty 可以在右側應用 Jacobi 三重積 恆等式後恢復 (◇)。 最後，(5) 和 (6) 實際上是等價的；(6) 是 (5) 的 “對稱化” 版本，使用了所謂的 Paule 對稱化。

這些恆等式也可以更簡潔地寫成單個恆等式

1+sum_(k=1)^infty(q^(k^2+ak))/((1-q)(1-q^2)...(1-q^k))=product_(j=0)^infty1/((1-q^(5j+a+1))(1-q^(5j-a+4))),
(7)

對於 a=0, 1。

這些公式有著曲折的歷史，羅傑斯 (1894) 在一篇完全被忽視的論文中證明了它們，然後拉馬努金在 1913 年之前的某個時候重新發現了它們（沒有證明）。 這些公式被傳達給麥克馬洪，他在他著名的文字中發表了這些公式，但仍然沒有證明。 然後，在 1917 年，拉馬努金在翻閱期刊時偶然發現了羅傑斯 1894 年的論文。 與此同時，舒爾 (1917) 獨立地重新發現了這些恆等式並發表了證明 (Hardy 1999, p. 91)。 Garsia 和 Milne (1981ab) 給出了羅傑斯-拉馬努金恆等式的第一個證明，構建了相關劃分類別之間的 雙射 (Andrews 1986, p. 59)。

Bailey (1947, 1949) 系統地研究和推廣了 Rogers 關於羅傑斯-拉馬努金型恆等式的工作。

Slater (1952) 發表了一個包含 130 個羅傑斯-拉馬努金型恆等式的列表，其中一些是已知的，但許多是新的，歸功於 Slater。 下表總結了其中的一些。 請注意，Slater 的表格實際上包含了一些重複列出兩次的恆等式，以及一些列出三次的恆等式，這是由於兩個不同的起點有時會導致相同的結果，但最終的代數表示可能略有不同。

恆等式編號恆等式名稱
42, 41, 40Bailey Mod 9 恆等式
93, 92, 91, 90Dyson Mod 27 恆等式
36, 34Göllnitz-Gordon 恆等式
39=83Jackson-Slater 恆等式
61, 60, 59Rogers Mod 14 恆等式
18, 14羅傑斯-拉馬努金恆等式
33, 32, 31Rogers-Selberg 恆等式

Schur 表明 (◇) 具有組合解釋，即最小差為 n 且最小差為 >=2 的劃分數等於劃分為 形式為 5m+1 或 5m+4 的部分 (Hardy 1999, p. 92)。 下表給出了前幾個值。

na_n最小差=1,4 (mod 5)
1111
2121+1
3131+1+1
424, 3+14, 1+1+1+1
525, 4+14+1, 1+1+1+1+1
636, 5+1, 4+26, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1

(◇) 也有類似的組合解釋。

Andrews-Gordon 恆等式 是羅傑斯-拉馬努金恆等式的推廣。

有一個由下式給出的恆等式序列

1. 兩個羅傑斯-拉馬努金恆等式 (模 5 上的三重積，超過 (q;q)_infty)。

2. 三個 Rogers-Selberg 恆等式 (模 7 上的三重積，超過 (q^2;q^2)_infty)。

3. (某種程度上) 四個 Bailey Mod 9 恆等式 (模 9 上的三重積，超過 (q^3;q^3)_infty)。

4. Andrews (1975) 提出的五個恆等式，型別為 (模 11 上的三重積，超過 (q^4;q^4)_infty)，但級數表示是雙級數，因此不如其他恆等式優雅。

5. 模 13 上的六個雙級數展開，型別為 (q^5;q^5)_infty 型乘積。

這裡，“某種程度上” 指的是在 A(q) 和 B(q) 之間，存在一個“恆等式”，其中乘積側包含 (q^3,q^6,q^9;q^9)_infty/(q^3;q^3)_infty，因此該恆等式簡化為 1=1，因此未列出。

還有一個由下式給出的不同恆等式序列

1. 羅傑斯-拉馬努金恆等式 (模 5×1=5 的 2 個恆等式)。

2. Rogers Mod 14 恆等式 (模 7×2=14 的 3 個恆等式)。

3. Dyson Mod 27 恆等式 (模 9×3=27 的 4 個恆等式)。

序列中的下一個將是模 11×4=44 的 5 個恆等式。A. Sills 推匯出了這些恆等式的級數展開，但它太複雜了以至於他沒有發表 (A. Sills, 私人通訊，2005 年 3 月 16 日)。

另請參閱

Andrews-Gordon 恆等式, Andrews-Schur 恆等式, Bailey Mod 9 恆等式, Dougall-Ramanujan 恆等式, Dyson Mod 27 恆等式, Göllnitz-Gordon 恆等式, Gordon's 劃分定理, Jackson-Slater 恆等式, Rogers Mod 14 恆等式, Rogers-Ramanujan 連分數, Rogers-Selberg 恆等式, Schur's 劃分定理

此條目的部分內容由 Andrew Sills 貢獻

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參考文獻

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在 中引用

羅傑斯-拉馬努金恆等式

引用為

Sills, Andrew 和 Weisstein, Eric W. “羅傑斯-拉馬努金恆等式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Rogers-RamanujanIdentities.html

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