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Dougall-Ramanujan 恆等式

拉馬努金在 1910 年左右發現的一個超幾何恆等式。引自 Hardy (1999, pp. 13 和 102-103),

sum_(n=0)^infty(-1)^n(s+2n)(s^((n))(x+y+z+u+2s+1)^((n)))/((x+y+z+u-s)_((n)))product_(x,y,z,u)(x_((n)))/((x+s+1)^((n))) =s/(Gamma(s+1)Gamma(x+y+z+u+s+1))product_(x,y,z,u)(Gamma(x+s+1)Gamma(y+z+u+s+1))/(Gamma(z+u+s+1)),
(1)

其中

a^((n))=a(a+1)...(a+n-1)
(2)

是升階乘（又名波赫哈默爾符號），

a_((n))=a(a-1)...(a-n+1)
(3)

是降階乘 (Hardy 1999, p. 101), Gamma(z) 是一個伽瑪函式，並且以下之一

x,y,z,u,-x-y-z-u-2s-1
(4)

是一個正整數。

方程 (1) 也可以重寫為

_7F_6[s,1+1/2s,-x,-y,-z,-u,x-y+z+u+2s+1 ; 1/2s,x+s+1,y+s+1,z+s+1,u+s+1, ; -x-y-z-u-s;1] =1/(Gamma(s+1)Gamma(x+y+z+u+s+1))product_(x,y,z,u)(Gamma(x+s+1)Gamma(y+z+u+s+1))/(Gamma(z+u+s+1)).
(5)

(Hardy 1999, p. 102)。以更對稱的形式，如果 n=2a_1+1=a_2+a_3+a_4+a_5, a_6=1+a_1/2, a_7=-n, 和 b_i=1+a_1-a_(i+1) 對於 i=1, 2, ..., 6, 那麼

_7F_6[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7; b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6;1] =((a_1+1)_n(a_1-a_2-a_3+1)_n)/((a_1-a_2+1)_n(a_1-a_3+1)_n)((a_1-a_2-a_4+1)_n(a_1-a_3-a_4+1)_n)/((a_1-a_4+1)_n(a_1-a_2-a_3-a_4+1)_n),
(6)

其中 (a)_n 是波赫哈默爾符號 (Petkovšek et al. 1996)。

該恆等式是Jackson 恆等式的一個特例，並給出了Dixon 定理、Saalschütz 定理和Morley 公式作為特例。

另請參閱

Bailey 變換, Dixon 定理, Dougall 定理, 廣義超幾何函式, 超幾何函式, Jackson 恆等式, Morley 公式, Rogers-Ramanujan 恆等式, Saalschütz 定理

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參考文獻

Bailey, W. N. "Dougall 定理的初等證明。" §5.1 in 廣義超幾何級數。 英國劍橋：劍橋大學出版社，pp. 25-26 和 34, 1935。Dixon, A. C. "某些級數的求和。" 倫敦數學學會會刊 35, 285-289, 1903。Dougall, J. "關於範德蒙定理和一些更一般的展開式。" 愛丁堡數學學會會刊 25, 114-132, 1907。Hardy, G. H. "拉馬努金筆記本中的一章。" 劍橋哲學學會會刊 21, 492-503, 1923。Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他的生活和工作啟發的課題的十二講座，第 3 版。 紐約：Chelsea, 1999。Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43, 126-127, 和 183-184, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 上被引用

Dougall-Ramanujan 恆等式

請引用為

魏斯stein，埃裡克·W. "Dougall-Ramanujan 恆等式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Dougall-RamanujanIdentity.html

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