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降階乘

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FallingFactorial

降階乘 (x)_n，有時也表示為 x^(n__) (Graham et al. 1994, p. 48)，定義為

(x)_n=x(x-1)...(x-(n-1))
(1)

對於 n>=0。 也被稱為二項式多項式、低階乘、降階乘冪（Graham et al. 1994, p. 48）或階乘冪。

降階乘與升階乘 x^((n)) (又名 Pochhammer 符號) 透過下式相關聯

(x)_n=(-1)^n(-x)^((n)),
(2)

降階乘在 Wolfram 語言 中實現為FactorialPower[x, n].

廣義降階乘可以定義為

(x)_n^((h))(x)=x(x-h)...(x-(n-1)h)
(3)

並在 Wolfram 語言 中實現為FactorialPower[x, n, h].

常規階乘透過下式與降階乘相關

n!=(n)_n
(4)

(Graham et al. 1994, p. 48)。

在組合數學用法中，降階乘通常表示為 (x)_n，升階乘表示為 (x)^((n)) (Comtet 1974, p. 6; Roman 1984, p. 5; Hardy 1999, p. 101)，然而在有限差分微積分和特殊函數理論中，降階乘表示為 x^((n))，升階乘表示為 (x)_n (Roman 1984, p. 5; Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987)。 因此，在解釋符號 (x)_n 和 x^((n)) 的含義時需要格外小心。在本文中，符號 (x)_n 用於表示降階乘，這可能會與 Pochhammer 符號混淆。

前幾個降階乘是

(x)_0=1
(5)
(x)_1=x
(6)
(x)_2=x(x-1)
(7)
=x^2-x
(8)
(x)_3=x(x-1)(x-2)
(9)
=x^3-3x^2+2x
(10)
(x)_4=x(x-1)(x-2)(x-3)
(11)
=x^4-6x^3+11x^2-6x
(12)

(OEIS A054654)。

導數由下式給出

d/(dz)(z)_n=(H_z-H_(z-n))(z)_n,
(13)

其中 H_z 是一個調和數。

連線降階乘 (x)_n 和升階乘 x^((n)) 的求和公式，

(x)_n=sum_(k=0)^nc_(nk)x^((k)),
(14)

是使用 Sheffer 形式主義給出的，其中

g(t)=1
(15)
f(t)=e^t-1
(16)
h(t)=1
(17)
l(t)=1-e^(-t),
(18)

這給出了生成函式

sum_(n=0)^infty(t_n(x))/(n!)t^n=sum_(n=0)^infty1/(n!)sum_(k=0)^nc_(nk)x^kt^k =e^(tx/(1+t)) =1+xt+1/2(x^2-2x)t^2+1/6(x^3-6x^2+6x)t^3+1/(24)(x^4-12x^3+36x^2-24x)t^4+...,
(19)

其中

t_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)x^k.
(20)

讀取係數得到

c_(00)=1 c_(11)=1 c_(10)=0 c_(22)=1 c_(21)=-2 c_(20)=0 c_(33)=1 c_(32)=-6 c_(31)=6 c_(30)=0,
(21)

因此，

(x)_0=x^((0))
(22)
(x)_1=x^((1))
(23)
(x)_2=x^((2))-2x^((1))
(24)
(x)_3=x^((3))-6x^((2))+6x^((1)),
(25)

等等。（並且公式由 Roman 1984, p. 133 給出的是不正確的）。

降階乘是關聯的 Sheffer 序列，具有

f(t)=e^t-1
(26)

(Roman 1984, p. 29)，並具有生成函式

sum_(k=0)^(infty)((x)_k)/(k!)t^k=e^(xln(1+t))
(27)
=(1+t)^x,
(28)

這等價於二項式定理

sum_(k=0)^infty(x; k)t^k=(1+t)^x.
(29)

Sheffer 序列的二項式恆等式是

(x+y)_n=sum_(k=0)^n(n; k)(x)_k(y)_(n-k),
(30)

其中 (n; k) 是一個二項式係數，可以重寫為

(x+y; n)=sum_(k=0)^n(x; k)(y; n-k),
(31)

稱為 Chu-Vandermonde 恆等式。降階乘服從以下遞推關係

x(x)_n=(x)_(n+1)+n(x)_n
(32)

(Roman 1984, p. 61)。

另請參閱

二項式定理, 中心階乘, Chu-Vandermonde 恆等式, Pochhammer 符號, 升階乘, Sheffer 序列, Sigma 多項式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 101, 1999.Roman, S. "The Lower Factorial Polynomial." §1.2 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 5, 28-29, and 56-63, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A054654 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Pochhammer Polynomials (x)_n." Ch. 18 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 149-165, 1987.

在 中引用

降階乘

引用為

Weisstein, Eric W. "降階乘。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/FallingFactorial.html

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