升階乘

升階乘 , 有時也記為 (Comtet 1974, p. 6) 或 (Graham et al. 1994, p. 48)，定義為

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此函式也稱為升階乘冪 (Graham et al. 1994, p. 48)，在特殊函數理論中常被稱為 Pochhammer 符號。升階乘在 Wolfram 語言 中實現為Pochhammer[x, n].

升階乘與 伽瑪函式 相關，關係式為

(2)

其中

(3)

並且與 降階乘 相關，關係式為

(4)

因此，通常的 階乘 與升階乘的關係為

(5)

對於非負整數 (Graham et al. 1994, p. 48)。

請注意，在組合數學用法中，降階乘 記為 ，升階乘記為 (Comtet 1974, p. 6; Roman 1984, p. 5; Hardy 1999, p. 101)，然而在 有限差分 微積分和特殊函數理論中，降階乘 記為 ，升階乘記為 (Roman 1984, p. 5; Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987)。因此在解釋符號 和 的含義時需要格外小心。在本作品中，符號 用於表示升階乘，儘管 Pochhammer 符號 是升階乘的另一個名稱，但它通常用 表示。

升階乘出現在 超幾何函式 和 廣義超幾何函式 的級數展開中。

前幾個升階乘為

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			(8)
			(9)
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升階乘的 導數 為

(11)

其中 是 雙伽瑪函式。