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雙伽瑪函式

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雙伽瑪函式是一個特殊函式，它由伽瑪函式的對數導數（或，取決於定義，階乘的對數導數）給出。

由於這種歧義，有時（但並非總是）使用兩種不同的符號，其中

Psi(z)=d/(dz)lnGamma(z)=(Gamma^'(z))/(Gamma(z))
(1)

定義為伽瑪函式 Gamma(z) 的對數導數，並且

F(z)=d/(dz)lnz!
(2)

定義為階乘函式的對數導數。兩者透過以下關係連線：

F(z)=Psi(z+1).
(3)

n階導數 Psi(z) 被稱為多伽瑪函式，表示為 psi_n(z)。因此，符號

psi_0(z)=Psi(z)
(4)

經常用於雙伽瑪函式本身，Erdélyi et al. (1981) 使用符號 psi(z) 表示 Psi(z)。雙伽瑪函式 psi_0(z) 由函式返回PolyGamma[z] 或PolyGamma[0, z] 在 Wolfram 語言中，並使用符號 psi^((0))(z) 排版。

雙伽瑪函數出現在簡單的求和中，例如

sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(zk+1)=(Phi(-1,1,z^(-1)))/z
(5)
=1/(2z)[psi_0((z+1)/(2z))-psi_0(1/(2z))],
(6)

其中 Phi(z,s,a) 是一個 Lerch 超越函式。

特殊情況如下：

sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k+1)=ln2
(7)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1)=1/4pi
(8)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(3k+1)=1/9(sqrt(3)pi+3ln2)
(9)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(4k+1)=(pi+2coth^(-1)(sqrt(2)))/(4sqrt(2)).
(10)

高斯雙伽瑪定理指出

(Gamma^'(p/q))/(Gamma(p/q))=-gamma-ln(2q)-1/2picot((pip)/q)+2sum_(0<n<q/2)cos((2pipn)/q)ln[sin((pin)/q)]
(11)

（Allouche 1992，Knuth 1997，第 94 頁）。

雙伽瑪函式的漸近級數由下式給出

psi_0(z+1)∼d/(dz)lim_(n->infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]
(12)
=lim_(n->infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))
(13)
=-gamma-sum_(n=1)^(infty)(1/(z+n)-1/n)
(14)
=-gamma+sum_(n=1)^(infty)z/(n(n+z))
(15)
=lnz+1/(2z)-sum_(n=1)^(infty)(B_(2n))/(2nz^(2n)),
(16)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，B_(2n) 是伯努利數。

雙伽瑪函式滿足

psi_0(z)=int_0^infty((e^(-t))/t-(e^(-zt))/(1-e^(-t)))dt.
(17)

對於整數 z=n,

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k=-gamma+H_(n-1),
(18)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，H_n 是調和數。

其他恆等式包括

(dpsi_0)/(dz)=sum_(n=0)^infty1/((z+n)^2)
(19)
psi_0(1-z)-psi_0(z)=picot(piz)
(20)
psi_0(z+1)=psi_0(z)+1/z
(21)
psi_0(2z)=1/2psi_0(z)+1/2psi_0(z+1/2)+ln2.
(22)

特殊值是

psi_0(1/2)=-gamma-2ln2
(23)
psi_0(1)=-gamma.
(24)

在整數值處，

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k
(25)
=-gamma+H_(n-1)
(26)

（Derbyshire 2004，第 58 頁），在半整數值處，

psi_0(1/2+n)=-gamma-2ln2+2sum_(k=1)^(n)1/(2k-1)
(27)
=-gamma+H_(n-1/2),
(28)

其中 H_n 是調和數。

它由單位正方形積分給出

psi_0(u)=lnu-int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy
(29)

對於 u>0 (Guillera 和 Sondow 2005)。代入 u=1 給出了一個涉及尤拉-馬歇羅尼常數的特殊情況。

psi_0(z) 的級數由下式給出

psi_0(z)=-1/z+sum_(n=0)^infty(psi_n(1))/(n!)z^n.
(30)

對數級數由下式給出

psi_0(z)=sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)ln(z+k)
(31)

（Guillera 和 Sondow 2005）。

從FoxTrot 級數中出現的一個令人驚訝的恆等式由下式給出

-psi_0(1/2(-1)^(1/3))-psi_0(-1/2(-1)^(2/3))+psi_0(1/2(1+(-1)^(1/3)))+psi_0(1/2(1-1(-1)^(2/3)))=2pisech(1/2sqrt(3)pi).
(32)

另請參閱

Barnes G-函式, G-函式, 伽瑪函式, 高斯雙伽瑪定理, 調和數, Hurwitz Zeta 函式, 對數導數, 梅林公式, 多伽瑪函式, 拉馬努金 phi-函式, 三伽瑪函式

Wolfram 相關站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/PolyGamma/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.Boros, G. 和 Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. "The psi Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.Guillera, J. 和 Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "The Digamma (F) and Trigamma (F^') Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Digamma Function psi(x)." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987.

在 中被引用

雙伽瑪函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙伽瑪函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/DigammaFunction.html

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