勒奇超越函式

勒奇超越函式是 赫爾維茨 zeta 函式 和 多重對數函式 的推廣。許多倒數 冪 的和可以用它來表示。經典定義為

(1)

對於 和 , , .... 它以這種形式在HurwitzLerchPhi[z, s, a] 中實現 Wolfram 語言。

稍微不同的形式

(2)

有時也表示為 ，對於 (或 和 ) 和 , , , ..., 在 Wolfram 語言 中實現為LerchPhi[z, s, a]。請注意，僅對於 這兩者是相同的。

一個用於 的級數公式，在複數 平面上更大的域內有效，由下式給出

(3)

對於所有複數 和複數 ，其中 (Guillera 和 Sondow 2005) 成立。

勒奇超越函式可以用來表示 狄利克雷 beta 函式

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一個特例由下式給出

(6)

(Guillera 和 Sondow 2005)，其中 是 多重對數函式。

給出簡單常數的特例包括

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其中 是 卡塔蘭常數， 是 阿佩裡常數，並且 是 格萊舍-金克林常數 (Guillera 和 Sondow 2005)。

它給出了 費米-狄拉克分佈 的積分

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其中 是 伽瑪函式， 是 多重對數函式 和 玻色-愛因斯坦分佈

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二重積分 涉及勒奇超越函式，包括

(15)

其中 是 伽瑪函式。這些公式引出了各種美麗的 單位正方形積分 特例 (Guillera 和 Sondow 2005)。

它也可以用來評估 狄利克雷 L 級數。