多對數函式

多對數函式 ，也稱為 Jonquière 函式，是函式

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在 複平面 上，在開 單位圓盤 內定義。然後，它在整個 複平面 上的定義透過 解析延拓 唯一地得出。

請注意，類似的 符號 用於 對數積分。

多對數函式也表示為 ，等於

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其中 是 Lerch 超越函式 (Erdélyi et al. 1981, p. 30)。多對數函數出現在費曼圖積分中（特別是在計算量子電動力學對電子旋磁比的修正時），特殊情況 和 分別稱為 二重對數函式 和 三重對數函式。多對數函式在 Wolfram 語言 中實現為PolyLog[n, z].

多對數函式也出現在 費米-狄拉克分佈 積分的閉合形式中

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其中 是 伽瑪函式，以及 玻色-愛因斯坦分佈

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特殊情況 簡化為

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其中 是 黎曼 zeta 函式。但是請注意，對於固定的複數 ， 的含義並非完全明確，因為它取決於在四維 空間中如何逼近 。

負整數階的多對數函數出現在 形式為 的和中

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其中 是 尤拉數。多對數函式也出現在廣義 調和數 的和中，如

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對於 。

低階多對數函式的特殊形式包括

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在自變數 和 1 處，一般多對數函式變為

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其中 是 狄利克雷 eta 函式， 是 黎曼 zeta 函式。自變數為 的多對數函式也可以針對小 進行解析求值，

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對於更高的階數，尚不清楚是否存在類似的公式（Lewin 1991, p. 2）。 出現在電子旋磁比的三階修正項中。

多對數函式的導數本身也是一個多對數函式，

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Bailey et al. 表明

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對於多對數函式存在許多非凡的恆等式，包括由 滿足的驚人恆等式，其中 (OEIS A073011) 是最小的 塞勒姆常數，即 Lehmer 的 Mahler 測度問題 中多項式的最大正根 (Cohen et al. 1992; Bailey and Broadhurst 1999; Borwein and Bailey 2003, pp. 8-9)。

對於函式的多對數積分，尚不清楚是否存在通用的 演算法。