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三重對數

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TriLogReal
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三重對數 Li_3(z), 有時也表示為 L_3, 是 多重對數 Li_n(z) 在 n=3 時的特殊情況。 請注意，三重對數 Li_3(x) 的符號不幸地與 對數積分 Li(x) 的符號相似。

三重對數在 Wolfram 語言 中實現為PolyLog[3, z].

TriLogReImAbs
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Re
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上圖展示了 Li_3(z) 在複平面上的圖。

三重對數的功能方程包括

Li_3(z)+Li_3(-z)=1/4Li_3(z^2) Li_3(-z)-Li_3(-z^(-1))=-1/6(lnz)^3-1/6pi^2lnz Li_3(z)+Li_3(1-z)+Li_3(1-z^(-1)) =zeta(3)+1/6(lnz)^3+1/6pi^2lnz-1/2(lnz)^2ln(1-z).
(1)

Li_3(x) 的解析值包括

Li_3(-1)=-3/4zeta(3) Li_3(0)=0 Li_3(1/2)=1/(24)[-2pi^2ln2+4(ln2)^3+21zeta(3)] Li_3(1)=zeta(3) Li_3(phi^(-2))=4/5zeta(3)+2/3(lnphi)^3-2/(15)pi^2lnphi
(2)

其中 zeta(3) 是 Apéry 常數，phi 是黃金比例。

Bailey 等人證明了

(35)/2zeta(3)-pi^2ln2 =36Li_3(1/2)-18Li_3(1/4)-4Li_3(1/8)+Li_3(1/(64)) 2(ln2)^3-7zeta(3) =-24Li_3(1/2)+18Li_3(1/4)+4Li_3(1/8)-Li_3(1/(64)) 10(ln2)^3-2pi^2ln2 =-48Li_3(1/2)+54Li_3(1/4)+12Li_3(1/8)-3Li_3(1/(64)).
(3)

參見

二重對數, 多重對數

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.Lewin, L. 多重對數和相關函式。 New York: North-Holland, pp. 154-156, 1981.

在 中被引用

三重對數

引用為

Weisstein, Eric W. “三重對數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Trilogarithm.html

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