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黃金比例

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黃金比例，也稱為神聖比例、黃金平均數或黃金分割，是一個在簡單幾何圖形（如五邊形、五角星、十邊形和十二面體）中計算距離比率時經常遇到的數字。它用符號 phi 表示，有時也用 tau 表示。

“phi”（對於黃金比例共軛 1/phi）和“Phi”（對於較大的量 phi）的 designation 有時也被使用 (Knott)，儘管不一定推薦這種用法。

術語“黃金分割”（在德語中，goldener Schnitt 或 der goldene Schnitt）似乎最早由 Martin Ohm 在 1835 年第二版教科書 Die Reine Elementar-Mathematik 中使用（Livio 2002, p. 6）。這個術語在英語中首次被知曉的使用是在 James Sulley 1875 年發表於第 9 版大英百科全書中關於美學的文章中。符號 phi (“phi”) 顯然在 20 世紀初由 Mark Barr 首次使用，以紀念希臘雕塑家菲狄亞斯（約公元前 490-430 年），一些藝術史學家聲稱菲狄亞斯在他的作品中廣泛使用了黃金比例 (Livio 2002, pp. 5-6)。類似地，備用符號 tau 是希臘語 tome 的縮寫，意思是“切割”。

在電視劇犯罪劇 數字追兇 第一季劇集“破壞”（2005 年）中，數學天才 Charlie Eppes 提到在吉薩金字塔和雅典帕特農神廟中發現了黃金比例。同樣，小說 達芬奇密碼 中的人物羅伯特·蘭登也做了類似的陳述 (Brown 2003, pp. 93-95)。然而，關於黃金比例在藝術、建築、雕塑、解剖學等領域顯著出現的意義的說法往往被大大誇大了。

phi 與連分數和歐幾里得演算法（用於計算兩個整數的最大公約數）有著令人驚訝的聯絡。

GoldenRatio

給定一個邊長比為 1:x 的矩形，phi 被定義為唯一的數字 x，使得將原始矩形分割成一個正方形和一個新的矩形（如上圖所示）會得到一個新的矩形，其邊長比也為 1:x（即，使得上面顯示的黃色矩形是相似的）。這樣的矩形被稱為黃金矩形，將黃金矩形連續分割成正方形的點位於對數螺旋上，形成一個被稱為迴旋正方形的圖形。

基於上述定義，可以立即看出

phi/1=1/(phi-1),
(1)

得出

phi^2-phi-1=0.
(2)
GoldenRatioExtremeAndMean

歐幾里得在公元前 300 年左右給出了 phi 的等效定義，透過線上段上所謂的“極端和平均比率”來定義它，即，使得

phi=(AC)/(CB)=(AB)/(AC)
(3)

對於上面圖示的線段 AB (Livio 2002, pp. 3-4)。代入，

(phi+1)/phi=phi,
(4)

並清除分母得到

phi^2-phi-1=0,
(5)

這與上面獲得的公式完全相同（並且順便意味著 phi 是一個 2 次代數數。）使用二次方程並取正號（因為該圖被定義為 phi>1）得出 phi 的精確值，即

phi=1/2(1+sqrt(5))
(6)
=1.618033988749894848204586834365638117720...
(7)

(OEIS A001622)。出現在十進位制展開的連續數字（從第一個開始）中的素數被稱為 phi-素數。

在明顯公然誤解了精確量和近似值之間的區別的情況下，小說 達芬奇密碼 中的人物羅伯特·蘭登錯誤地將黃金比例定義為精確值 1.618 (Brown 2003, pp. 93-95)。

黃金三角形（等腰三角形，頂角為 36 degrees）的腰與其底邊成黃金比例，事實上，這就是畢達哥拉斯用來構造 phi 的方法。外接圓半徑與十邊形邊長的比率也是 phi，

R/s=1/2csc(pi/(10))=1/2(1+sqrt(5))=phi.
(8)

平分（示意性的）高盧十字也會得到黃金比例 (Gardner 1961, p. 102)。

phi 的精確三角公式包括

phi=2cos(pi/5)
(9)
=1/2sec((2pi)/5)
(10)
=1/2csc(pi/(10)).
(11)

黃金比例由級數給出

phi=(13)/8+sum_(n=0)^infty((-1)^(n+1)(2n+1)!)/((n+2)!n!4^(2n+3))
(12)

(B. Roselle)。與斐波那契數的另一個有趣的聯絡由級數給出

phi=1+sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(F_nF_(n+1)).
(13)

用巢狀根式表示為

phi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...))))
(14)

(Livio 2002, p. 83)。這等價於遞推方程

a_n^2=a_(n-1)+1
(15)

其中 a_1=1，得出 lim_(n->infty)a_n=phi。

phi 是有理數逼近的“最差”實數，因為它的連分數表示

phi=[1,1,1,...]
(16)
=1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))
(17)

(OEIS A000012；Williams 1979, p. 52；Steinhaus 1999, p. 45；Livio 2002, p. 84) 在其無限多個分母中都具有最小可能的項 (1)，因此給出的收斂項比任何其他連分數收斂得都慢。特別是，收斂項 x_n=p_n/q_n 由二次遞推方程給出

x_n=1+1/(x_(n-1)),
(18)

其中 x_1=1，其解為

x_n=(F_(n+1))/(F_n),
(19)

其中 F_n 是第 n 個斐波那契數。這給出了前幾個收斂項：1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ... (OEIS A000045 和 A000045)，它們分別精確到 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A114540) 位十進位制數字。

因此，

phi=lim_(n->infty)x_n=lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1)),
(20)

正如蘇格蘭數學家 Robert Simson 在 1753 年首次證明的那樣 (Wells 1986, p. 62; Livio 2002, p. 101)。

黃金比例也滿足遞推關係

phi^n=phi^(n-1)+phi^(n-2).
(21)

取 n=1 得到特例

phi=phi^(-1)+1.
(22)

將 (21) 視為線性遞推方程

phi(n)=phi(n-1)+phi(n-2)
(23)

在 phi(n)=phi^n 中，設定 phi(0)=1 和 phi(1)=phi，求解得到

phi(n)=phi^n,
(24)

正如預期的那樣。黃金比例的冪也滿足

phi^n=F_nphi+F_(n-1),
(25)

其中 F_n 是一個斐波那契數 (Wells 1986, p. 39)。

涉及 phi 的某些複數的正弦給出了特別簡單的答案，例如

sin(ilnphi)=1/2i
(26)
sin(1/2pi-ilnphi)=1/2sqrt(5)
(27)

(D. Hoey，私人通訊)。

GoldenRatioRectangle

在上圖中，可以將三個三角形內接到任意縱橫比 1:r 的矩形 ABCD 中，透過以黃金比例分割 AB 和 BC，使得三個直角三角形具有相等的面積。然後

K_(DeltaADE)=1/2·r(1+phi)·1=1/2rphi^2
(28)
K_(DeltaBEF)=1/2·rphi·phi=1/2rphi^2
(29)
K_(DeltaCDF)=1/2(1+phi)·r=1/2rphi^2,
(30)

它們都相等。反之亦然，即如果矩形的鄰邊以任何比例分割並以相同方式連線，那麼如果三個外部三角形的面積都相等，則兩個分割邊都成黃金比例 (D. J. Lewis，私人通訊，2009 年 6 月 11 日)。

GoldenRatioRecurrence

替換系統

0->01
(31)
1->0
(32)

給出

0->01->010->01001->...,
(33)

產生序列

0100101001001010010100100101...
(34)

(OEIS A003849)。這裡，零出現在位置 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, ... (OEIS A000201)，而一齣現在位置 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, ... (OEIS A001950)。這些是由 |_nphi_| 和 |_nphi^2_| 生成的互補貝蒂序列。這個序列也與斐波那契數有很多聯絡。它在上面被繪製為（模 2）的遞迴圖。

GoldenRatioKhinchinLevy

設 phi 的連分數為 [a_0;a_1,a_2,...]，並設收斂項的分母表示為 q_1、q_2、...、q_n。從上面的圖中可以看出，phi 的連分數的規律性意味著 phi 是一組測度為 0 的數字之一，它們的連分數序列不收斂到辛欽常數或萊維常數。

黃金比例的恩格爾展開為 1, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, ... (OEIS A028259)。

GoldenRatioIntervals

Steinhaus（1999, pp. 48-49）考慮了 nphi 的小數部分在由 0、1/n、2/n、...、(n-1)/n、1 界定的區間內的分佈，並指出它們的分佈比偶然預期的要均勻得多（即，frac(nphi) 接近於一個等分佈序列）。特別是，n=1、2、... 的空區間的數量僅僅是 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ... (OEIS A036414)。沒有留下空白箱的 n 值然後由 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ... (OEIS A036415) 給出。Steinhaus (1983) 評論說，高度均勻的分佈根植於 phi 的連分數。

序列 {frac(x^n)}，即冪小數部分，其中 frac(x) 是小數部分，對於幾乎所有實數 x>1 都是等分佈的，黃金比例是其中一個例外。

Salem 表明，皮索數的集合是閉集，phi 是該集合的最小累積點 (Le Lionnais 1983)。

另請參閱

Beraha 常數, 十邊形, 等分佈序列, 歐幾里得演算法, 五個圓盤問題, 黃金角, 黃金日晷, 黃金比例近似值, 黃金比例共軛, 黃金比例數字, 黃金矩形, 黃金三角形, 二十面十二面體, 高貴數, 五邊形, 五角星, Phi 數字系統, Phi-素數, 葉序, 皮索數, 塑膠常數, 冪小數部分, 拉馬努金連分數, Rogers-Ramanujan 連分數, 正割法 在 課堂中探索這個主題

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Constants/GoldenRatio/

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參考文獻

Bogomolny, A. "Golden Ratio in Geometry." http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml.Boyer, C. B. 數學史。 紐約：Wiley, p. 56, 1968.Brown, D. 達芬奇密碼。 紐約：Doubleday, 2003.Coxeter, H. S. M. "The Golden Section, Phyllotaxis, and Wythoff's Game." Scripta Mathematica 19, 135-143, 1953.Dixon, R. 數學圖形。 紐約：Dover, pp. 30-31 和 50, 1991.Finch, S. R. "The Golden Mean." §1.2 in 數學常數。 英國劍橋：Cambridge University Press, pp. 5-12, 2003.Gardner, M. "Phi: The Golden Ratio." Ch. 8 in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, A New Selection. 紐約：Simon and Schuster, pp. 89-103, 1961.Gardner, M. "Notes on a Fringe-Watcher: The Cult of the Golden Ratio." Skeptical Inquirer 18, 243-247, 1994.Hambridge, J. The Elements of Dynamic Stability. 紐約：Dover, 1967.Herz-Fischler, R. 黃金數字的數學史。 紐約：Dover, 1998.Hofstetter, K. "A Simple Construction of the Golden Ratio." Forum Geom. 2, 65-66, 2002. http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200208index.html.Hofstetter, K. "A 4-Step Construction of the Golden Ratio." Forum Geom. 6, 179-180, 2006. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200618index.html.Huntley, H. E. 神聖比例。 紐約：Dover, 1970.Knott, R. "Fibonacci Numbers and the Golden Section." http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 40, 1983.Livio, M. 黃金比例：Phi 的故事，世界上最令人驚歎的數字。 紐約：Broadway Books, 2002.Markowsky, G. "Misconceptions About the Golden Ratio." College Math. J. 23, 2-19, 1992.Ogilvy, C. S. 幾何學漫步。 紐約：Dover, pp. 122-134, 1990.Ohm, M. die Reine Elementar-Mathematik. Berlin: Jonas Veilags-Buchhandlung, 1835.Olariu, A. "Golden Section and the Art of Painting." 18 Aug 1999. http://arxiv.org/abs/physics/9908036.Pappas, T. "Anatomy & the Golden Section." 數學的樂趣。 加利福尼亞州聖卡洛斯：Wide World Publ./Tetra, pp. 32-33, 1989.Saaty, T. L. and Kainen, P. C. 四色問題：進攻與征服。 紐約：Dover, p. 148, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A000012/M0003, A000201/M2322, A001622/M4046, A001950/M1332, A003849, A028259, A036414, A036415, and A114540 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 紐約：Dover, p. 45, 1999.Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 紐約：Springer-Verlag, p. 175, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.van Zanten, A. J. "The Golden Ratio in the Arts of Painting, Building, and Mathematics." Nieuw Arch. Wisk. 17, 229-245, 1999.Walser, R. Der Goldene Schnitt. 德國斯圖加特：Teubner, 1993.Weisstein, E. W. "Books about Golden Ratio." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/GoldenRatio.html.Wells, D. 企鵝好奇有趣的數字詞典。 英國米德爾塞克斯：Penguin Books, pp. 36-49, 1986.Wells, D. 企鵝好奇有趣的幾何學詞典。 倫敦：Penguin, pp. 87-88, 1991.Williams, R. "The Golden Proportion." §2-7 in 自然結構幾何基礎：設計資源手冊。 紐約：Dover, pp. 52-53, 1979.Zeising, A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt und mit einer vollständigen historischen Uebersicht der bisherigen Systeme begleitet. 德國萊比錫：Weigel, 1854.

在 上被引用

黃金比例

請引用為

Weisstein, Eric W. “黃金比例”。來自 —— 資源。https://mathworld.tw/GoldenRatio.html

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