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Phi 數系

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對於每個 正整數 n，都存在一個唯一的有限序列，由不同的非連續（不一定是正數）整數 k_1, ..., k_m 組成，使得

n=phi^(k_1)+...+phi^(k_m),
(1)

其中 phi 是 黃金比例。

例如，對於前幾個正整數，

1=phi^0
(2)
2=phi^(-2)+phi
(3)
3=phi^(-2)+phi^2
(4)
4=phi^(-2)+phi^0+phi^2
(5)
5=phi^(-4)+phi^(-1)+phi^3
(6)
6=phi^(-4)+phi+phi^3
(7)
7=phi^(-4)+phi^4
(8)

(OEIS A104605)。

表示 n 對於 n=1, 2, ... 所需的項數由 1, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 4, ... 給出 (OEIS A055778)，這同時也是 n 的以 phi 為基數的表示中 1 的個數。

下表總結了表示中恰好需要 k 個 phi 的冪的 n 值。

kOEIS恰好需要 k 個冪的數
2A0052482, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, ...
3A1046264, 5, 6, 8, 19, 48, 124, 323, 844, ...
4A1046279, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 20, 21, 25, ...
5A10462811, 15, 22, 23, 24, 26, 30, 31, 32, 34, ...

另請參閱

基數, 黃金比例

使用 探索

參考文獻

Bergman, G. "具有無理基數的數系。《數學雜誌》" 31, 98-110, 1957.Knott, R. "使用 Phi 的冪表示整數（以 Phi 為基數）。" http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phigits.html.Knuth, D. 計算機程式設計藝術，第 1 卷：基本演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.Levasseur, K. "Phi 數系。" http://www.hostsrv.com/webmaa/app1/MSP/webm1010/PhiNumberSystem/PhiNumberSystem.msp.Rousseau, C. "重新審視 Phi 數系。《數學雜誌》" 68, 283-284, 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A005248/M0848, A055778, A104605, A104626, A104627, 和 A104628，收錄於 "整數數列線上大全"。

在 中被引用

Phi 數系

請引用為

Weisstein, Eric W. "Phi 數系。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PhiNumberSystem.html

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