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Engel 展開

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正實數 x 的 Engel 展開，也稱為埃及乘積，是正整數 a_i 的唯一遞增序列 {a_1,a_2,...}，使得

x=1/(a_1)+1/(a_1a_2)+1/(a_1a_2a_3)+....

下表給出了 Catalan 常數、e、Euler-Mascheroni 常數 gamma、pi 和 黃金比例 phi 的 Engel 展開。

常數OEISEngel 展開
sqrt(2)A0282541, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, ...
sqrt(3)A0282571, 2, 3, 3, 6, 17, 23, 25, 27, 73, ...
cosh1A1182391, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, ...
eA0000271, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
e^(-1)A0591933, 10, 28, 54, 88, 130, 180, 238, 304, 378, ...
gammaA0539772, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, ...
KA0545432, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 12, 13, 41, 110, ...
ln2A0591802, 3, 7, 9, 104, 510, 1413, 2386, ...
phiA0282591, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, ...
piA0067841, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...
pi^(-1)A0140124, 4, 11, 45, 70, 1111, 4423, 5478, 49340, ...
sinh1A0683771, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, ...
tanh1A1183262, 2, 22, 50, 70, 29091, 49606, 174594, ...

e 有一個非常規則的 Engel 展開，即 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... (OEIS A000027)。有趣的是，雙曲正弦 sinh1 的展開式具有閉合形式 a_n=2(n-1)(2n-1)，對於 n>1，這意味著 雙曲餘弦 cosh1 的展開式具有閉合形式 a_n=2(n-1)(2n-3)，對於 n>1。類似地，1/e 的 Engel 展開是 a_n=2(2n+1)(n-1)，對於 n>1，這源於

e^(-1)=sum_(n=1)^infty[1/((2n)!)-1/((2n+1)!)].

另請參閱

連分數, 埃及分數, Pierce 展開

使用 探索

參考文獻

Engel, F. "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen." Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. pp. 190-191, 1913.Erdős, P. 和 Shallit, J. O. "New Bounds on the Length of Finite Pierce and Engel Series." Sem. Theor. Nombres Bordeaux 3, 43-53, 1991.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 53-59, 2003.Schweiger, F. Ergodic Theory of Fibred Systems and Metric Number Theory. Oxford, England: Oxford University Press, 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A000027/M0472, A006784/M4475, A014012, A028254, A028257, A028259, A053977, A054543, A059180, A059193, A068377, A118239, 和 A118326 在 "整數序列線上百科全書" 中。Wu, J. "How Many Points Have the Same Engel and Sylvester Expansions?." J. Number Th. 103, 16-26, 2003.

在 中被引用

Engel 展開

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "Engel 展開。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/EngelExpansion.html

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