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常數 constant e 是 自然對數 的底數。 e 有時被稱為納皮爾常數，儘管它的符號 (e) 是為了紀念尤拉。

e 是唯一一個具有以下性質的數字：由 雙曲線 y=1/x、x 軸和垂直線 x=1 和 x=e 界定的區域的面積為 1。換句話說，

int_1^e(dx)/x=lne=1.
(1)

除了 pi 之外，e 是數學中最重要的常數，因為它出現在無數涉及 極限 和 導數 的數學語境中。 e 的數值為

e=2.718281828459045235360287471352662497757...
(2)

(OEIS A001113)。

ELimit

e 可以用 極限 定義

e=lim_(x->infty)(1+1/x)^x
(3)

（如上圖所示），或由無窮級數

e=sum_(k=0)^infty1/(k!)
(4)

最早由牛頓於 1669 年發表（重印於 Whiteside 1968 年，第 225 頁）。

e 由不尋常的極限給出

lim_(n->infty)[((n+1)^(n+1))/(n^n)-(n^n)/((n-1)^(n-1))]=e
(5)

(Brothers 和 Knox 1998)。

尤拉（1737 年；Sandifer 2006 年）證明了 e 是 無理數，透過證明 e 有一個無限簡單連分數 (e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,...]; Nagell 1951），利維爾在 1844 年證明了 e 不滿足任何具有整數 係數 的 二次方程 （即，如果它是 代數數，它必須是次數大於 2 的代數數）。埃爾米特隨後解決了這個問題，證明了 e 在 1873 年是 超越數。然而，e 是“最小”的超越數，其 無理數測度 為 mu(e)=2。

桑多（2006 年）證明了 e 使用 e 作為閉區間的巢狀序列的交集構造證明了 e 是無理數。該方法還根據 斯馬蘭達克函式 （此處表示為 S(n) 而不是傳統的 mu(n)）提供了無理數測度，以避免與 無理數測度 混淆，透過表明，如果 p 和 q 是任何整數，且 q>1，則

|e-p/q|>1/((S(q)+1)!).
(6)

尚不清楚 pi+e 或 pi/e 是否是 無理數。已知 pi+e 和 pi/e 不滿足任何次數 <=8 的 多項式 方程，且 整數 係數 的平均大小為 10^9 (Bailey 1988, Borwein et al. 1989)，但尚不清楚其中任何一個是超越數。

尚不清楚 e 對於任何基數是否是正規數 (Stoneham 1970)。

e 具有級數表示

e=[sum_(k=0)^infty((-1)^k)/(k!)]^(-1),
(7)

以及

e=[sum_(k=0)^(infty)(1-2k)/((2k)!)]^(-1)
(8)
=sum_(k=0)^(infty)(2k+1)/((2k)!)
(9)
=1/2sum_(k=0)^(infty)(k+1)/(k!)
(10)
=2sum_(k=0)^(infty)(k+1)/((2k+1)!)
(11)
=sum_(k=0)^(infty)(3-4k^2)/((2k+1)!)
(12)
=sum_(k=0)^(infty)((3k)^2+1)/((3k)!)
(13)
=[sum_(k=0)^(infty)(4k+3)/(2^(2k+1)(2k+1)!)]^2.
(14)

尤拉公式 的特例

e^(ix)=cosx+isinx
(15)

當 x=pi 時，給出了美麗的恆等式

e^(ipi)+1=0,
(16)

一個連線基本數字 i、pi、e、1 和 0 (零) 的等式，並涉及等式（=）、加法 (+)、乘法 (×) 和 指數運算 的基本運算。

e 的巢狀級數可以透過重寫 e 的級數 (2) 得到，為

e=1+1+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+...
(17)
=1+1+1/2(1+1/3+1/(4·3)+...)
(18)
=1+1+1/2(1+1/3(1+1/4(1+1/5(1+...)))),
(19)

當 x 取兩側的冪時，會得到一個漂亮的 巢狀根式 結果。

一個意想不到的 沃利斯-like 公式 e 由 皮平格爾乘積 給出

e/2=(2/1)^(1/2)(2/34/3)^(1/4)(4/56/56/78/7)^(1/8)...
(20)

(OEIS A084148 和 A084149；Pippenger 1980）。另一個關於 e 的乘積由

e=(2/1)^(1/1)((2^2)/(1·3))^(1/2)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/3)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/4)...
(21)

由 Guillera 提出 (Sondow 2006)。這類似於乘積

e^gamma=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/3)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/4)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/5)...,
(22)

和

pi/2=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(23)

(Guillera 和 Sondow 2005，Sondow 2006)。

使用 遞推關係

a_n=n(a_(n-1)+1)
(24)

其中 a_1=a^(-1)，計算

product_(n=1)^infty(1+a_n^(-1)).
(25)

結果是 e^a。Gosper 給出了連線 pi 和 e 的不尋常方程，

sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)cos(9/(npi+sqrt(n^2pi^2-9)))=-(pi^2)/(12e^3)
(26)
=-0.040948222...
(27)

(OEIS A100074)。

Rabinowitz 和 Wagon (1995) 給出了一個 演算法，用於計算 e 的數字，基於早期的 數字 (Borwein 和 Bailey 2003，第 140 頁），但 Sales 在 1968 年發現了一個更簡單的 流式演算法。大約在 1966 年，麻省理工學院的駭客 Eric Jensen 編寫了一個非常簡潔的程式（不到一頁組合語言），該程式透過從階乘基數轉換為十進位制來計算 e。

設 p(n) 是隨機 一一對應 函式在 整數 1, ..., n 上至少有一個 不動點 的機率。那麼

lim_(n->infty)p(n)=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/(k!)
(28)
=1-1/e
(29)
=0.6321205588...
(30)

(OEIS A068996)。

斯特林近似 給出

lim_(n->infty)((n!)^(1/n))/n=1/e
(31)
=0.367879441...
(32)

(OEIS A068985)。

施泰納問題 要求函式 x^(1/x) 的最大值，由 e^(1/e) 給出。

e 助記符 的例子 (Gardner 1959, 1991) 包括

“我乘公共汽車去了布魯克林”（6 位數字）。

“擾亂遊戲室通常是孩子們的習慣”（10 位數字）。

“它可以讓笨蛋記住大量的數字”（10 位數字）。

“我正在形成一個助記符來記住分析中的一個函式”（10 位數字）。

“他重複說：我不應該小酌，我不應該在這裡倒下！”（11 位數字）。

“在向一位可能挑剔或惡毒的女士展示一幅畫作時，憤怒佔了上風。哦，小心點，否則她會咆哮和尖叫”（21 位數字）。在這裡，單詞“O”代表數字 0。

一個給出 40 位數字的更廣泛的助記符是

“我們提出一個助記符來記住一個如此令人興奮的常數，以至於尤拉驚呼：'！' 當它第一次被發現時，是的，大聲地'！'。我的學生或許會計算 e，使用冪級數或泰勒級數，一個簡單的求和公式，顯而易見，清晰，優雅！”

(Barel 1995)。在後者中，0 用“！”表示。A. P. Hatzipolakis 維護著一份 e 多種語言的助記符列表。

另請參閱

e 近似值, e 連分數, e 數字, 卡勒曼不等式, 複利, 棣莫弗恆等式, 尤拉公式, 指數衰減, 指數函式, 指數增長, 埃爾米特-林德曼定理, 自然對數, 皮科弗序列, 施泰納問題 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Constants/E/

本條目的部分內容由 Jonathan Sondow (作者連結) 貢獻

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H. "關於涉及 pi, e, and Euler's Constant 的常數的超越性的數值結果." 數學計算 50, 275-281, 1988.Barel, Z. " 的助記符." 數學雜誌 68, 253, 1995.Baruvelle, H. V. "數字 e: 自然對數的基數." 數學教師 38, 350-355, 1945.Borwein, J. and Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; and Bailey, D. H. "拉馬努金、模方程和圓周率的近似值或如何計算十億位圓周率." 美國數學月刊 96, 201-219, 1989.Brothers, H. J. "提高牛頓級數對 e 的近似的收斂性." 大學數學雜誌 35, 34-39, 2004.Brothers, H. J. and Knox, J. A. "對數常數 e 的新閉式近似." 數學智慧 20, 25-29, 1998.Caldwell, C. K. and Dubner, H. "圓周率中的素數." 休閒數學雜誌 29, 282-289, 1998.Castellanos, D. "無處不在的圓周率。第一部分." 數學雜誌 61, 67-98, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. 數字之書。 New York: Springer-Verlag, pp. 201 and 250-254, 1996.Euler, L. "關於連分數的論文." 聖彼得堡科學院學報 9, 98-137, (1737) 1744. Reprinted in Leonhardi Euleri Opera Omnia, Ser. I, Vol. 14. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 187-215, 1924.Euler, L. "關於連分數的文章." Trans. M. F. Wyman and B. F. Wyman. 數學系統理論 18, 295-328, 1985.Finch, S. R. "自然對數的基數." §1.3 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 12-17, 2003.Friedman, E. "本月問題（2004 年 8 月）." https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html.Gardner, M. "記憶數字." Ch. 11 in 科學美國人數學謎題和消遣書。 New York: Simon and Schuster, pp. 103 and 109, 1959.Gardner, M. "超越數 e." Ch. 3 in 意外的絞刑和其他數學消遣。 Chicago, IL: Chicago University Press, pp. 34-42, 1991.Gourdon, X. and Sebah, P. "常數 e." http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html.Guillera, J. and Sondow, J. "透過 Lerch 超越函式的解析延拓獲得的一些經典常數的雙重積分和無窮乘積." 16 June 2005. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Hatzipolakis, A. P. "圓周率語文學." http://www.cilea.it/~bottoni/www-cilea/F90/piphil.htm.Hermite, C. "關於指數函式." 巴黎科學院報告 77, 18-24, 74-79, and 226-233, 1873.Knox, J. A. and Brothers, H. J. " 的新型基於級數的近似." 大學數學雜誌 30, 209-215, 1999.Le Lionnais, F. 傑出的數字。 Paris: Hermann, p. 47, 1983.Maor, E. e：一個數字的故事。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.Minkus, J. "一個連分數." Problem 10327. 美國數學月刊 103, 605-606, 1996.Mitchell, U. G. and Strain, M. "數字 e." 奧西里斯 1, 476-496, 1936.Nagell, T. "數字 e 和 pi 的無理性." §13 in 數論導論。 New York: Wiley, pp. 38-40, 1951.Newton, I. 艾薩克·牛頓的數學論文，第 2 卷：1667-1670 (Ed. D. T. Whiteside). New York: Cambridge University Press, 1968.Pippenger, N. " 的一個無窮乘積." 美國數學月刊 87, 391, 1980.Plouffe, S. "常數計算的當前記錄表." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Rabinowitz, S. and Wagon, S. "圓周率數字的流式演算法." 美國數學月刊 102, 195-203, 1995.Reid, C. In 從零到無窮，第 4 版。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.Sandifer, E. "尤拉是怎麼做的：誰證明了 e 是無理數？" Feb. 2006. http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A000029/M0563, A001113/M1727, A068985, A068996, A084148, A084149, 和 A100074 in "整數序列線上百科全書."Sondow, J. " 的幾何證明 e 是無理數及其無理性的新度量." 美國數學月刊 113, 637-641, 2006.Stoneham, R. "從有理函式構造超越非劉維爾正規數的一般算術方法." 算術學報 16, 239-253, 1970.Wall, H. S. 連分數的解析理論。 New York: Chelsea, 1948.Weisstein, E. W. "關於 e 的書籍." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/e.html.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 46, 1986.

在 中被引用

e

請引用為

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "e." 來自 --一個 Wolfram 網路資源. https://mathworld.tw/e.html

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