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Smarandache 函式

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Smarandache 函式 mu(n) 是由 Lucas (1883), Neuberg (1887), 和 Kempner (1918) 首次考慮，並隨後由 Smarandache (1980) 重新發現的函式，它給出對於給定的 n，使得 n|mu(n)! (即，n 整除 mu(n) 階乘) 的最小的值。例如，數字 8 不能整除 1!, 2!, 3!, 但是能整除 4!=4·3·2·1=8·3, 所以 mu(8)=4。

SmarandacheFunction

對於 n=1, 2, ..., mu(n) 由 1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, ... (OEIS A002034) 給出，其中應注意 Sloane 定義 mu(1)=1, 而 Ashbacher (1995) 和 Russo (2000, p. 4) 採用 mu(1)=0。 mu(n) 增量最大值是 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (OEIS A046022)，它們出現在 mu(n)=n 的值處。相對於 n，mu(n) 增量最小值是 mu(n)/n = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/12, 3/40, 1/15, 1/16, 1/24, 1/30, ... (OEIS A094404 和 A094372)，它們出現在 n=1, 6, 12, 20, 24, 40, 60, 80, 90, 112, 120, 180, ... (OEIS A094371)。

存在直接計算特殊形式的 n 的 mu(n) 的公式。最簡單的情況是

mu(1)=1
(1)
mu(n!)=n
(2)
mu(p)=p
(3)
mu(p_1p_2...p_k)=p_k
(4)
mu(p^alpha)=palpha
(5)

其中 p 是素數，p_i 是不同的素數，p_1<p_2<...<p_k，且 alpha<=p (Kempner 1918)。此外，

mu(P_p)=M_p
(6)

如果 P_p 是第 n 個偶 完全數 且 M_p 是相應的 梅森素數 (Ashbacher 1997; Ruiz 1999a)。最後，如果 p 是素數，且 n>=2 是整數，則

mu(p^(p^n))=p^(n+1)-p^n+p
(7)

(Ruiz 1999b)。

對於 alpha>p 的情況 p^alpha 更為複雜，但可以使用 Kempner (1918) 提出的演算法計算。首先，遞迴地定義 a_j

a_(j+1)=pa_j+1
(8)

其中 a_1=1。這可以以閉合形式求解為

a_j=(p^j-1)/(p-1).
(9)

現在找到滿足 a_nu<=alpha<a_(nu+1) 的 nu 值，其由下式給出

nu=|_log_p[1+alpha(p-1)]_|,
(10)

其中 |_x_| 是 向下取整函式。現在根據類似 歐幾里得演算法 的過程計算序列 k_i 和 r_i

alpha=k_nua_nu+r_nu
(11)
r_nu=k_(nu-1)a_(nu-1)+r_(nu-1)
(12)
|
(13)
r_(lambda+2)=k_(lambda+1)a_(lambda+1)+r_(lambda+1)
(14)
r_(lambda+1)=k_lambdaa_lambda
(15)

即，直到餘數 r_lambda=0。在每一步，k_i 是 r_i/a_i 的 整數部分，r_i 是餘數。例如，在第一步，k_nu=|_alpha/a_nu_| 且 r_nu=alpha-k_nua_nu。然後

mu(p^alpha)=(p-1)alpha+sum_(i=nu)^lambdak_i
(16)

(Kempner 1918)。

對於一般的 n，mu(n) 的值由下式給出

mu(p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r))=max[mu(p_1^(alpha_1)),mu(p_2^(alpha_2)),...,mu(p_r^(alpha_r))]
(17)

(Kempner 1918)。

對於所有 n

mu(n)>=gpf(n),
(18)

其中 gpf(n) 是 n 的 最大素因子。

可以透過找到 gpf(n) 並測試 n 是否整除 gpf(n)! 來計算 mu(n)。如果能整除，則 mu(n)=gpf(n)。如果不能整除，則 mu(n)>gpf(n)，並且必須使用 Kempner 演算法。Erdős (1991) 提出，Kastanas (1994) 證明了 n 使得 ngpf(n)! (即，n 不能整除 gpf(n)!) 的集合的密度為零，但對於小的 n，存在相當多的值使得 ngpf(n)!。這些值的前幾個是 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 32, 36, 45, 48, 49, 50, ... (OEIS A057109)。令 N(x) 表示正整數 2<=n<=x 的數量，使得 ngpf(n)!, Akbik (1999) 隨後表明

N(x)<<xexp(-1/4sqrt(lnx)).
(19)

Ford (1999) 和 De Koninck and Doyon (2003) 隨後對此進行了改進，但前者不幸是錯誤的。Ford (1999) 提出了漸近公式

N(x)∼(sqrt(pi)(1+ln2))/(2^(3/4))(lnxlnlnx)^(3/4)x^(1-1/u_0)rho(u_0)
(20)

其中 rho(u) 是 Dickman 函式, u_0 透過下式隱式定義

lnx=u_0(x^(1/u_0^2)-1),
(21)

並且常數需要修正 (Ivić 2003)。Ivić (2003) 隨後表明

N(x)=x(2+O(sqrt(lnlnx/lnx)))×int_2^xrho(lnx/lnt)(lnt)/(t^2)dt,
(22)

並且，用初等函式表示，

N(x)=xexp[-sqrt(2lnxlnlnx)(1+O(lnlnlnx/lnlnx))].
(23)

Tutescu (1996) 推測，對於任何連續的引數，mu(n) 永遠不會取相同的值，即，對於任何 n，mu(n)!=mu(n+1)。這至少在 n=10^9 範圍內成立 (Weisstein, 3 月 3 日，2004)。

多個 n 的值可以具有相同的 k=mu(n) 值，如下表中小 k 的總結。

k使得 mu(n)=k 的 n
11
22
33, 6
44, 8, 12, 24
55, 10, 15, 20, 30, 40, 60, 120
69, 16, 18, 36, 45, 48, 72, 80, 90, 144, 180, 240, 360, 720

令 a(k) 表示 mu(n) 的最小逆，即，使得 mu(n)=k 的最小 n。那麼 a(k) 由下式給出

a(k)=[gpf(k)]^(e+1),
(24)

其中

e=sum_(i=1)^(|_log_(gpf(k))(n-1)_|)|_(n-1)/([gpf(k)]^i)_|
(25)

(J. Sondow, 私人通訊，1 月 17 日，2005 年), 其中 gpf(k) 是 k 的 最大素因子，|_x_| 是 向下取整函式。對於 k=1, 2, ..., a(k) 由 1, 2, 3, 4, 5, 9, 7, 32, 27, 25, 11, 243, ... (OEIS A046021) 給出。mu(n) 的某些值僅在非常大的 n 時首次出現。a(k) 的增量最大值序列為 1, 2, 3, 4, 5, 9, 32, 243, 4096, 59049, 177147, 134217728, ... (OEIS A092233)，對應於 n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 27, 32, ... (OEIS A092232)。

為了找到使得 mu(n)=k 的 n 的數量，請注意，根據定義，n 是 mu(n)! 的除數，但不是 (mu(n)-1)! 的除數。因此，為了找到所有 n，使得 mu(n) 具有給定值，例如所有 n 且 mu(n)=k，取 k! 的所有除數的集合，並省略 (k-1)! 的除數。特別地，對於 k>1，使得 mu(n)=k 的 n 的數量 b(k) 正好是

b(k)=d(k!)-d((k-1)!),
(26)

其中 d(m) 表示 m 的除數數量，即 除數函式 sigma_0(m)。因此，n 且 mu(n)=1, 2, ... 的整數數量由 1, 1, 2, 4, 8, 14, 30, 36, 64, 110, ... (OEIS A038024) 給出。

特別地，方程 (26) 表明逆 Smarandache 函式 a(n) 總是存在，因為對於每個 n，都存在一個 m 且 mu(m)=n (因此存在一個最小的 a(n))，因為對於 n>1，d(n!)-d((n-1)!)>0。

Sondow (2006) 表明，mu(k) 意外地出現在 e 的無理數界限中，並推測對於 幾乎所有 n，不等式 n^2<mu(n)! 成立，其中 “對於幾乎所有” 意味著除了密度為零的集合。例外情況是 2, 3, 6, 8, 12, 15, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, ... (OEIS A122378)。

由於對於幾乎所有 n，gpf(n)=mu(n) (Erdős 1991, Kastanas 1994)，其中 gpf(n) 是 最大素因子，等價的推測是對於幾乎所有 n，不等式 n^2<gpf(n)! 成立。例外情況是 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, ... (OEIS A122380)。

D. Wilson 指出，如果

I(n,p)=(n-Sigma(n,p))/(p-1),
(27)

是 素數 p 在 n! 中的冪，其中 Sigma(n,p) 是 n 的基-p 數字之和，那麼由此得出

a(n)=min_(p|n)p^(I(n-1,p)+1),
(28)

其中最小值取自整除 n 的 素數 p。當 p 是 n 的 最大素因子 時，似乎總是能達到此最小值。

另請參閱

階乘, 最大素因子, 偽 Smarandache 函式, Smarandache 上取整函式, Smarandache 常數, Smarandache-Kurepa 函式, Smarandache 近似素數階乘函式, Smarandache-Wagstaff 函式

此條目部分由 Jonathan Sondow (作者連結) 貢獻

使用 探索

參考文獻

Akbik, S. "On a Density Problem of Erdős." Int. J. Math. Sci. 22, 655-658, 1999.Ashbacher, C. An Introduction to the Smarandache Function. Cedar Rapids, IA: Decisionmark, 1995.Ashbacher, C. "Problem 4616." School Sci. Math. 97, 221, 1997.Begay, A. "Smarandache Ceil Functions." Bulletin Pure Appl. Sci. India 16E, 227-229, 1997.De Koninck, J.-M. and Doyon, N. "On a Thin Set of Integers Involving the Largest Prime Factor Function." Int. J. Math. Math. Sci., No. 19, 1185-1192, 2003.Dumitrescu, C. and Seleacu, V. The Smarandache Function. Vail, AZ: Erhus University Press, 1996.Erdős, P. "Problem 6674." Amer. Math. Monthly 98, 965, 1991.Finch, S. "The Average Value of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 95-96, 1999. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf.Finch, S. "Moments of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 11, 140-141, 2000. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook11.pdf.Finch, S. R. "Golomb-Dickman Constant." §5.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 284-292, 2003.Ford, K. "The Normal Behavior of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 81-86, 1999. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf."Functions in Number Theory." http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/FUNCT1.TXT.Hungerbühler, N. and Specker, E. "A Generalization of the Smarandache Function to Several Variables." Integers: Electronic J. Combin. Number Th. 6, #A23, 2006 http://www.integers-ejcnt.org/vol6.html.Ibstedt, H. Surfing on the Ocean of Numbers--A Few Smarandache Notions and Similar Topics. Lupton, AZ: Erhus University Press, pp. 27-30, 1997.Ivić, A. "On a Problem of Erdős Involving the Largest Prime Factor of n." 5 Nov 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0311056.Kastanas, I. "Solution to Problem 6674: The Smallest Factorial That Is a Multiple of n." Amer. Math. Monthly 101, 179, 1994.Kempner, A. J. "Miscellanea." Amer. Math. Monthly 25, 201-210, 1918.Lucas, E. "Question Nr. 288." Mathesis 3, 232, 1883.Neuberg, J. "Solutions de questions proposées, Question Nr. 288." Mathesis 7, 68-69, 1887.Ruiz, S. M. "Smarandache Function Applied to Perfect Numbers." Smarandache Notions J. 10, 114-155, 1999a.Ruiz, S. M. "A Result Obtained Using Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 123-124, 1999b.Russo, F. A Set of New Smarandache Functions, Sequences, and Conjectures in Numer Theory. Lupton, AZ: American Research Press, 2000.Sandor, J. "On Certain Inequalities Involving the Smarandache Function." Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. 17, 583, 1996.Sloane, N. J. A. Sequences A002034/M0453, A038024, A046021, A046022, A057109, A092232, A092233, A094371, A094372, A094404, A122378, and A122380 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smarandache, F. "A Function in Number Theory." Analele Univ. Timisoara, Ser. St. Math. 43, 79-88, 1980.Smarandache, F. Collected Papers, Vol. 1. Bucharest, Romania: Tempus, 1996.Smarandache, F. Collected Papers, Vol. 2. Kishinev, Moldova: Kishinev University Press, 1997.Sondow, J. "A Geometric Proof that e Is Irrational and a New Measure of Its Irrationality." Amer. Math. Monthly 113, 637-641, 2006.Tutescu, L. "On a Conjecture Concerning the Smarandache Function." Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. 17, 583, 1996.

在 中引用

Smarandache 函式

請引用為

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "Smarandache 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SmarandacheFunction.html

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