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除數函式

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除數函式 sigma_k(n) 對於整數 n 被定義為 k 次 次方 的和，其中 次方 是 n 的（正整數）除數，

sigma_k(n)=sum_(d|n)d^k.
(1)

它在 Wolfram 語言 中被實現為DivisorSigma[k, n].

符號 d(n) (Hardy and Wright 1979, p. 239), nu(n) (Ore 1988, p. 86) 和 tau(n) (Burton 1989, p. 128) 有時用於 sigma_0(n)，它給出 n 的除數數量。 令人驚訝的是，多項式 a^n-b^n 的因子個數也由 d(n) 給出。 sigma_0(n) 的值可以作為 1, 1, 1, ... 的逆 莫比烏斯變換 找到 (Sloane and Plouffe 1995, p. 22)。 Heath-Brown (1984) 證明了 sigma_0(n)=sigma_0(n+1) 無限多次成立。 具有增量最大除數數量的數字稱為高度合成數。 函式 sigma_0(n) 滿足恆等式

sigma_0(p^a)=a+1
(2)
sigma_0(p_1^(a_1)p_2^(a_2)...)=(a_1+1)(a_2+1)...,
(3)

其中 p_i 是不同的素數，p_1^(a_1)p_2^(a_2)... 是數字 n 的 素因子分解。

除數函式 sigma_0(n) 是奇數 當且僅當 n 是一個 平方數。

給出 n 的除數和的函式 sigma_1(n) 通常在沒有下標的情況下書寫，即 sigma(n)。

作為計算 sigma_k(n) 的說明性示例，考慮數字 140，它的 除數 有 d_i=1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 和 140，總共有 N=12 個除數。 因此，

sigma_0(140)=N=12
(4)
sigma_1(140)=sum_(i=1)^(N)d_i=336
(5)
sigma_2(140)=sum_(i=1)^(N)d_i^2=27300
(6)
sigma_3(140)=sum_(i=1)^(N)d_i^3=3164112.
(7)

下表總結了 sigma_k(n) 對於小的 k 和 n=1, 2, ... 的前幾個值。

kOEISsigma_k(n) 對於 n=1, 2, ...
0A0000051, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, ...
1A0002031, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, ...
2A0011571, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, ...
3A0011581, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, ...

n 的除數之和，不包括 n 本身（即 n 的 真因子）被稱為 限制除數函式，記為 s(n)。 前幾個值是 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, ... (OEIS A001065)。

除數 sigma_1(N) 的和可以如下找到。 設 N=ab，其中 a!=b 且 (a,b)=1。 對於 N 的任何除數 d，d=a_ib_i，其中 a_i 是 a 的除數，b_i 是 b 的除數。 a 的除數是 1, a_1, a_2, ..., 和 a。 b 的除數是 1, b_1, b_2, ..., b。 除數之和是

sigma_1(a)=1+a_1+a_2+...+a
(8)
sigma_1(b)=1+b_1+b_2+...+b.
(9)

對於給定的 a_i，

a_i(1+b_1+b_2+...+b)=a_isigma_1(b).
(10)

對所有 a_i 求和，

(1+a_1+a_2+...+a)sigma_1(b)=sigma_1(a)sigma_1(b),
(11)

因此 sigma_1(N)=sigma_1(ab)=sigma_1(a)sigma_1(b)。 將 a 和 b 分解為素因子，

sigma_1(N)=sigma_1(p_1^(alpha_1))sigma_1(p_2^(alpha_2))...sigma_1(p_r^(alpha_r)).
(12)

對於素數 冪 p_i^(alpha_i)，除數是 1, p_i, p_i^2, ..., p_i^(alpha_i)，因此

sigma_1(p_i^(alpha_i))=1+p_i+p_i^2+...+p_i^(alpha_i)=(p_i^(alpha_i+1)-1)/(p_i-1).
(13)

因此，對於 N，

sigma_1(N)=product_(i=1)^r(p_i^(alpha_i+1)-1)/(p_i-1)
(14)

(Berndt 1985)。

對於 N 是素數的特殊情況，(14) 簡化為

sigma_1(p)=(p^2-1)/(p-1)=p+1.
(15)

類似地，對於 N 是 2 的 冪，(14) 簡化為

sigma_1(2^alpha)=(2^(alpha+1)-1)/(2-1)=2^(alpha+1)-1.
(16)

恆等式 (◇) 和 (◇) 可以推廣到

sigma_k(N)=sigma_k(p_1^(alpha_1))sigma_k(p_2^(alpha_2))...sigma_k(p_r^(alpha_r))
(17)
=product_(i=1)^(r)(p_i^((alpha_i+1)k)-1)/(p_i^k-1).
(18)

涉及除數函式的和由下式給出

sum_(n=1)^infty(sigma_0(n))/(n^s)=zeta^2(s)
(19)

對於 s>1，

sum_(n=1)^infty(sigma_1(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-1)
(20)

對於 s>2，更一般地，

sum_(n=1)^infty(sigma_k(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-k)
(21)

對於 s>1 和 k>=0 (Hardy 和 Wright 1979, p. 250)。

sigma_0(n) 的生成函式由 蘭伯特級數 給出

L(x)=sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(1-x^n)
(22)
=(psi_x(1)+ln(1-x))/(lnx)
(23)
=sigma_0(1)x+sigma_0(2)x^2+...
(24)
=x+2x^2+2x^3+3x^4+2x^5+...,
(25)

其中 phi_q(x) 是一個 q-多伽瑪函式。

sigma_1(n) 函式具有級數展開式

sigma_1(n)=1/6npi^2[(1+((-1)^n)/(2^2))+(2cos(2/3npi))/(3^2)+(2cos(1/2npi))/(4^2)+(2[cos(2/5npi)+cos(4/5npi)])/(5^2)+...]
(26)

(Hardy 1999)。 拉馬努金給出了美麗的公式

sum_(n=1)^infty(sigma_a(n)sigma_b(n))/(n^s)=(zeta(s)zeta(s-a)zeta(s-b)zeta(s-a-b))/(zeta(2s-a-b)),
(27)

其中 zeta(n) 是 zeta 函式，R[s],R[s-a],R[s-b],R[s-a-b]>1 (Wilson 1923)，Ingham 在 素數定理 的證明中使用了該公式 (Hardy 1999, pp. 59-60)。 這給出了特殊情況

sum_(n=1)^infty([d(n)]^2)/(n^s)=([zeta(s)]^4)/(zeta(2s))
(28)

(Hardy 1999, p. 59)。

格朗沃爾定理指出

lim_(n->infty)^_(sigma_1(n))/(nlnlnn)=e^gamma,
(29)

其中 gamma 是 尤拉-馬斯切羅尼常數 (Hardy 和 Wright 1979, p. 266; Robin 1984)。 這可以寫成顯式不等式

(sigma_1(n))/(nlnlnn)<=e^gamma+c/((lnlnn)^2),
(30)

其中 gamma 是 尤拉-馬斯切羅尼常數，並且當 n=12 時等式成立，給出

c=7/3(lnln12)-e^gamma(lnln12)^2
(31)
=0.648213649...
(32)

(Robin 1984, 定理 2)。 事實上，如果 黎曼猜想 成立，則可以刪除常數項，因為 黎曼猜想 等價於以下陳述

(sigma_1(n))/(nlnlnn)<e^gamma
(33)

對於所有 n>=5041 (Robin 1984, 定理 1)。

sigma_1(n) 是 2 的冪 當且僅當 n=1 或 n 是不同梅森素數的乘積 (Sierpiński 1958/59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999)。 前幾個這樣的 n 是 1, 3, 7, 21, 31, 93, 127, 217, 381, 651, 889, 2667, ... (OEIS A046528)，而這些對應的 2 的冪是 0, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 14, ... (OEIS A048947)。

使用模形式理論推匯出的奇特恆等式由下式給出

sigma_3(n)-sigma_7(n)+120sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(k)sigma_3(n-k)=0
(34)
-10sigma_3(n)+21sigma_5(n)-11sigma_9(n)+5040sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(k)sigma_5(n-k)=0
(35)

(Apostol 1997, p. 140)，以及

21sigma_5(n)-20sigma_7(n)-sigma_(13)(n)+10080sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_7(k)=0
(36)
-10sigma_3(n)+11sigma_9(n)-sigma_(13)(n)+2640sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(n-k)sigma_9(k)=0
(37)
-21sigma_5(n)+22sigma_9(n)-sigma_(13)(n)-2904sum_(k=1)^(n-1)sigma_9(n-k)sigma_9(k) +504sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_(13)(k)=0
(38)

(M. Trott，私人通訊)。

除數函式 sigma_1(n) （實際上，對於 k>=1 的 sigma_k(n)）是 奇數 當且僅當 n 是 平方數 或兩倍的 平方數。 除數函式 sigma_1(n) 滿足同餘

nsigma_1(n)=2 (mod phi(n)),
(39)

對於所有素數，且對於除 4、6 和 22 之外的任何合數都不成立 (Subbarao 1974)。

當 sigma_1(n) 本身是素數時，除數的個數 d(n) 是素數 (Honsberger 1991)。 對於素數 p，sigma_1(p^a) 的因式分解由 Sorli 給出。

DivisorFunctionSummatory

1838 年，狄利克雷表明，從 1 到 n 的所有數字的平均除數個數漸近於

(sum_(k=1)^(n)d(k))/n∼lnn+2gamma-1
(40)

(Conway 和 Guy 1996; Hardy 1999, p. 55; Havil 2003, pp. 112-113)，如上圖所示，其中細實線繪製實際值，粗虛線繪製漸近函式。 這與 狄利克雷除數問題 相關，該問題旨在找到 theta 中的“最佳”係數

sum_(k=1)^nd(k)=nlnn+(2gamma-1)n+O(n^theta)
(41)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 264)。

對於 a>1 的 求和函式 sigma_a 是

sum_(k=1)^nsigma_a(k)=(zeta(a+1))/(a+1)n^(a+1)+O(n^a).
(42)

對於 a=1，

sum_(k=1)^nsigma_1(k)=(pi^2)/(12)n^2+O(nlnn)
(43)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 266)。

除數函式也可以推廣到 高斯整數。 定義需要一些謹慎，因為原則上，對於每個除數選擇四個相伴數中的哪一個存在歧義。 Spira (1961) 透過將 z 分解為不同高斯素數的冪的乘積來定義複數 z 的除數之和，

z=epsilonproductp_i^(k_i),
(44)

其中 epsilon 是一個單位，每個 p_i 位於複平面的第一象限，然後寫作

sigma_1(z)=product(p_i^(k_i+1)-1)/(p_i-1).
(45)

這使得 sigma 成為乘法函式，並且也給出 |sigma_1(z)|>=z。 此擴充套件在 Wolfram 語言 中實現為DivisorSigma[1, z,GaussianIntegers -> True]。 下表給出了 sigma_1(a+ib) 對於 a 和 b 的小非負值。

a\b0123456
112+i2+2i5+5i2+4i6+8i2+6i
22+3i3+i5i3+3i-2+10i3+5i-5+15i
342+6i4+2i8+4i6+5i9+7i8+8i
4-4+5i5+i3+11i-1+6i-8+i5+5i-3+15i
54+8i3+9i6+2i10i6+4i20i6+6i
68+12i7+i-10+10i12+4i2+16i7+5i20i

另請參閱

狄利克雷除數問題, 不同素因子, 除數, 除數積, 偶除數函式, 因子, 費馬除數問題, 最大素因子, 格朗沃爾定理, 高度合成數, 最小素因子, 多完全數, 奇除數函式, 奧爾猜想, 完全數, 素因子, 可重構數, 限制除數函式, 羅賓定理, 西爾弗曼常數, 親和數鏈, 平方和函式, 超完全數, tau 函式, 尤拉函式, 尤拉函式價函式, 孿生峰, 酉除數函式 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/DivisorSigma/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "除數函式。" §24.3.3 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 827, 1972.Apostol, T. M. 數論中的模函式和狄利克雷級數，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 140, 1997.Berndt, B. C. 拉馬努金的筆記本：第一部分。 New York: Springer-Verlag, p. 94, 1985.Burton, D. M. 初等數論，第四版。 Boston, MA: Allyn and Bacon, 1989.Conway, J. H. and Guy, R. K. 數字之書。 New York: Springer-Verlag, pp. 260-261, 1996.Dickson, L. E. 數論史，第一卷：可除性和素性。 New York: Dover, pp. 279-325, 2005.Dirichlet, G. L. "關於無窮級數在數論中的應用。" J. reine angew. Math. 18, 259-274, 1838.Guy, R. K. "關於 msigma(m)=nsigma(n) 的解", "與 d(n), sigma_k(n) 的類比", "關於 sigma(n)=sigma(n+1) 的解", 和 "關於 sigma(q)+sigma(r)=sigma(q+r) 的解"。 §B11, B12, B13 和 B15 in 數論中未解決的問題，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 67-70, 1994.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作提出的主題的十二次講座，第三版。 New York: Chelsea, pp. 55 and 141, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 數論導論，第五版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 354-355, 1979.Havil, J. Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Heath-Brown, D. R. "篩法理論中的奇偶性問題。" Mathematika 29, 1-6, 1982.Heath-Brown, D. R. "連續整數處的除數函式。" Mathematika 31, 141-149, 1984.Honsberger, R. 更多數學拾零。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 250-251, 1991.Kaplansky, I. "狄克遜歷史的前兩章。" Unpublished manuscript, Apr. 1999.Nagell, T. 數論導論。 New York: Wiley, pp. 26-27, 1951.Ore, Ø. 數論及其歷史。 New York: Dover, 1988.Robin, G. "除數和函式的極大值和黎曼假設。" J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984.Sierpiński, W. "關於除數之和是數字 2 的冪的數字。" Calcutta Math. Soc. Golden Jubilee Commemoration 1958/59, Part I. Calcutta: Calcutta Math. Soc., pp. 7-9, 1963.Sloane, N. J. A. Sequences A000005, A000203, A001065, A001157, A001158, A046528, and A048947 in "整數序列線上百科全書"。Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整數序列百科全書。 San Diego, CA: Academic Press, 1995.Sivaramakrishnan, R. 算術函式的經典理論。 New York: Dekker, 1989.Sorli, R. "因式分解表。" http://www-staff.maths.uts.edu.au/~rons/fact/fact.htm.Spira, R. "複數除數之和。" Amer. Math. Monthly 68, 120-124, 1961.Subbarao, M. V. "關於兩個素性同餘式。" Pacific J. Math. 52, 261-268, 1974.Wilson, B. M. "拉馬努金闡述的某些公式的證明。" Proc. London Math. Soc. 21, 235-255, 1923.

在 中被引用

除數函式

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "除數函式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/DivisorFunction.html

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