主題
Search

除數積

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

類似於 除數函式 sigma_1(n)，令

pi(n)=product_(d|n)d
(1)

表示 d 的除數 n （包括 n 本身）的乘積。對於 n=1, 2, ..., 前幾個值是 1, 2, 3, 8, 5, 36, 7, 64, 27, 100, 11, 1728, 13, 196, ... (OEIS A007955)。

除數積滿足以下恆等式

pi(n)=n^(sigma_0(n)/2).
(2)

下表給出了 n 的值，對於這些值，pi(n) 是一個 P 次冪。Lionnet (1879) 考慮了 P=2 的情況。

POEISn
2A0489431, 6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 26, ...
3A0489441, 4, 8, 9, 12, 18, 20, 25, 27, 28, 32, ...
4A0489451, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, ...
5A0489461, 16, 32, 48, 80, 81, 112, 144, 162, ...

寫出一個數 n 的素因數分解，

n=p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_r^(a_r).
(3)

那麼，p_i 在 pi(n) 中出現的冪是

1/2a_i(a_1+1)(a_2+1)...(a_r+1)
(4)

(Kaplansky 1999)。這使得可以確定 pi(n) 何時是 n 的冪的規則，正如 Halcke (1719) 和 Lionnet (1879) 所考慮的那樣。設 p、q 和 r 是不同的素數，那麼下表給出了 n 的條件和前幾個 pi(n)，對於這些 pi(n)，pi(n) 是 n 的給定冪 P (Ireland and Rosen 1990, Kaplansky 1999, Dickson 2005)。三次冪的情況對應於恰好有六個除數的數，四次冪的情況對應於有八個除數的數，依此類推。

P形式Sloanen
2p^3, pqA0074226, 8, 10, 14, 15, 21, 22, ...
3p^5, p^2qA03051512, 18, 20, 28, 32, 44, ...
4p^7, p^3q, pqrA03062624, 30, 40, 42, 54, 56, ...
5p^9, p^4qA03062848, 80, 112, 162, 176, ...

使用 探索

參考文獻

Dickson, L. E. 數論史，卷 1：可除性和素性。 New York: Dover, p. 58, 2005.Halcke, P. Exs. 150-152 in Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 197, 1719.Ireland, K. and Rosen, M. 現代數論經典導引，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 19, 1990.Kaplansky, I. "狄克遜《數論史》的前兩章。" Unpublished manuscript, Apr. 1999.Lionnet, E. "關於完全數的註釋。" Nouv. Ann. Math. 18, 306-308, 1879.Lucas, E. Ex. 6 in 數論。 Paris: Gauthier-Villars, p. 373, 1891.Sloane, N. J. A. 序列 A000040/M0652, A007422/M4068, A007955, A030515, A030626, A030628, A048943, A048944, A048945, and A048946 在 “整數序列線上百科全書” 中。Smarandache, F. 只有問題，沒有答案！，第四版。 Phoenix, AZ: Xiquan, 1993.

在 中被引用

除數積

請引用為

Eric W. Weisstein。“除數積”。來自 —— Resource。https://mathworld.tw/DivisorProduct.html

主題分類